Organisatoren: Christian Bär (Potsdam), Bernhard Hanke (Augsburg)

Indextheorie gibt es schon lange, auch wenn den Mathematikern das lange nicht bewusst war. So können das Gauß-Bonnet-Theorem oder der Satz von Riemann-Roch als Indexsätze verstanden werden. Den Durchbruch brachte die Arbeit von Atiyah und Singer [1], in der der mittlerweile klassische Indexsatz formuliert wurde, der die genannten Resultate als Spezialfälle enthält. Indextheorie hat sich mittlerweile zu einem eigenen mathematischen Teilgebiet entwickelt mit vielen Querverbindungen und Anwendungen in Analysis, Geometrie, Topologie und der mathematischen Physik.
Wir werden neben dem klassischen Atiyah-Singer-Indexsatz die Variante für kompakte riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Rand, die für Lorentz-Mannigfaltigkeiten mit raumartigem Rand sowie Indextheorie für nicht kompakte Mannigfaltigkeiten kennenlernen.
Von allen Teilnehmern wird vorausgesetzt, dass sie Grundkenntnisse über elliptische lineare Differentialoperatoren und Spinoren auf Mannigfaltigkeiten haben. Das beinhaltet insbesondere

• die Definition von linearen Differentialoperatoren und ihres Hauptsymbols [8, Ch. III, § 1], Elliptizität, lokale elliptische Regularitätstheorie und Diskretheit des Spektrums auf kompakten Mannigfaltigkeiten [8, Ch. III, § 4];
• Spin-Strukturen, Spinorbündel, Clifford-Multiplikation, der klassische Dirac-Operator und seine getwisteten Vettern [8, Ch. II, §§ 1-5].

Das Blockseminar fand in der Abtei Frauenwörth auf der Fraueninsel im Chiemsee statt. Die Anreise war am Sonntag 11.6.2017 zum Abendessen, die Abreise am Freitag 16.6.2017 nach dem Mittagessen.

Vortragsthemen (eine pdf-Version befindet sich hier)

0. (Christian Bär, Bernhard Hanke) Einführung

Vorbereitungen und der Atiyah-Singer-Indexsatz auf geschlossenen Mannigfaltigkeiten

1. Charakteristische Klassen
Charakteristische Klassen werden mittels der Chern-Weil-Konstruktion eingeführt, also als deRham-Kohomologieklassen. Dabei ist die Sprache der Superzusammenhänge bequem. Die Transgressionsformel besonders betonen, da wir die Transgressionsform in Vortrag 6 nochmal brauchen. Wichtige Beispiele sind die Â-Klasse und der Chern-Charakter [6, 1.4-1.5].

2. Wärmekernasymptotik
Den Wärmekern wie in [8, Ch. III, § 6] diskutieren und die Verbindung zum Index herstellen. Die Kurzzeitasymptotik etwas genauer angeben, z.B. wie in [6, Thm 2.30]. Es reicht aber, die Diagonale, d.h. den Fall x=y, zu betrachten, für den sich die asymptotische Formel vereinfacht.

3. Atiyah-Singer-Indexsatz
Die Vereinfachung des Integranden für den Index aus der Wäremekernasymptotik zur entsprechenden charakteristischen Klasse mittels Getzlerreskalierung herleiten [6, pp. 139-143 sowie 4.2 und 4.3].

Der Atiyah-Patodi-Singer-Indexsatz auf Mannigfaltigkeiten mit Rand

4. Zylinderanalysis
Zur Vorbereitung des Indexsatzes für Mannigfaltigkeiten mit Rand eine Parametrix auf dem Zylinder konstruieren [2, Abschn. 2].

5. Der Fall von Rand mit metrischer Produktstruktur und APS-Randbedingung
Die Atiyah-Patodi-Singer-Randbedingungen erklären und den Indexsatz beweisen [2, Abschn. 3].

6. Der allgemeine Fall
Zunächst wie in [7, 8.3] zeigen, wie man die Produktbedingung am Rand los wird und sich dafür einen zusätzlichen Randterm einfängt (Transgressionsterm). Dann die Randbedingungen verallgemeinern: D-elliptische Randbedingungen wie in [4, Def. 4.7] einführen. Dann Theorem 4.9 und Theorem 4.10 (ohne Beweis) sowie die Ergebnisse aus Abschnitt 6.1 in [4] (mit Beweisen soweit zeitlich möglich) erläutern. Alle Details finden sich in [3].

7. Beispiele und der relative Indexsatz von Gromov und Lawson
Zunächst die Beispiele für D-elliptische Randbedingungen aus [3, 7.6] und [4, 4.7] erklären. Dann mit Hilfe der Transmissionsbedingung den relativen Indexsatz von Gromov und Lawson beweisen [3, 8.4].

8. Spektralfluss
Den Sprektralfluss wie in [9] einführen. Dann zeigen, wie der Index des Dirac-Operators auf einer Mannigfaltigkeit der topologischen Form X×[a,b] (mit APS-Randbedingungen) mit dem Spektralfluss der Familie der Dirac-Operatoren auf den "Slices" X×{t} zusammenhängt [10, Thm. A].

Der Indexsatz für Lorentz-Mannigfaltigkeiten

9. Global hyperbolische Lorentz-Mannigfaltigkeiten und das Cauchy-Problem für Dirac-Operatoren
Als Vorbereitung werden grundlegende Definitionen und Eigenschaften für global hyperbolische Lorentz-Mannigfaltigkeiten und Spinoren auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten zusammengefasst. Das Material von Seite 3-8 von [5] ist abzudecken. Abschnitt 1.3 dabei erst mal noch weglassen. Ggfs. weiterführende Referenzen in [5] benutzen.

10. Fredholm-Eigenschaft des Lorentz'schen Dirac-Operators und APS-Randbedingungen
Abschnitt 1.3 sowie Abschnitt 1.2 bis Ende des zweiten Kapitels in [5] besprechen. Den Beweis von Lemma 2.6 ggfs. weglassen.

11. Der Lorentz'sche Indexsatz
Abschnitt 4 und, falls Zeit bleibt, Abschnitt 5 in [5] besprechen.

Roes Indexsatz für nichtkompakte Mannigfaltigkeiten

12. Grundlagen zu nichtkompakten Mannigfaltigkeiten
Der Dirac-Operator auf vollständigen Mannigfaltigkeiten [11, Abschnitt 1], Spingeometrie und Chern-Weil-Kalkül auf Mannigfaltigkeiten beschränkter Geometrie [11, Abschnitt 2-3].

13. Verallgemeinerte Indizes
Indizes abstrakter elliptischer Operatoren einführen [11, Abschnitt 4]. Die Definition der K₀- und K₁-Gruppen sollte kurz wiederholt werden. Ein instruktives Beispiel erhält man mit A gleich der Algebra der beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum und B gleich dem Ideal der kompakten Operatoren darin: Mit Hilfe der kanonischen Spur auf K₀(B)≅ℤ erhält man den klassischen ganzzahligen Index von Fredholm-Operatoren. Denn diese definieren in kanonischer Weise Elemente in K₁(A/B), die mittels des verbindenden Homomorphismus nach K₀(B) abgebildet werden können. In unserem Kontext werden die kompakten Operatoren durch die uniformen Glättungsoperatoren ersetzt, siehe [11, Abschnitt 5].

14. Reguläre Ausschöpfungen
Man erhält numerische (nicht-ganzzahlige) Indizes mittels Spuren auf der Algebra der uniformen Glättungsoperatoren, die dann auf abstrakten Indexklassen in K₀ ausgewertet werden können. Dies kann mittels regulärer Ausschöpfungen erreicht werden, wie sie auf amenablen Mannigfaltigkeiten existieren. Inhalt dieses Vortrags ist Abschnitt 6 in [11], eventuell mit zusätzlichen Erläuterungen zum Begriff der Amenabilität.

15. Der Indexsatz von Roe I
Definition der abstrakten Indexklasse eines verallgemeinerten Dirac-Operators über einer Mannigfaltigkeit mit beschränkter Geometrie mittels "good embeddings", [11, Abschnitt 7]. Formulierung und Beweis des Indexsatzes [11, Abschnitt 8].

16. Der Indexsatz von Roe II
Der Indexsatz kann nur dann geometrisch angewendet werden, wenn der numerische Index des Dirac-Operators mit dessen Kern in Verbindung gebracht werden kann. Dies setzt uniforme Konvergenz von Wärmekernen voraus. Abschnitt 1 in [12] soll skizziert und eine oder mehrere Anwendungen aus Abschnitt 2 (L²-Gauß-Bonnet-Formel, Existenz nicht-negativer Skalarkrümmung, Hirzebruch-Riemann-Roch) vorgestellt werden. Interessant ist auch der Zusammenhang zu Atiyahs L²-Indexsatz [12, Abschnitt 5].

Literatur:

[1] M. F. Atiyah and I. M. Singer, The index of elliptic operators on compact manifolds, Bull. Amer. Math. Soc. 69 (1963), 422-433, DOI 10.1090/S0002-9904-1963-10957-X
[2] M. F. Atiyah, V. K. Patodi and I. M. Singer, Spectral asymmetry and Riemannian geometry. I, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 77 (1975), 43-69, DOI 10.1017/S0305004100049410
[3] Christian Bär and Werner Ballmann, Boundary value problems for elliptic differential operators of first order, in: H.-D. Cao und S.-T. Yau (eds.), Surveys in differential geometry. Vol. XVII, Int. Press, Boston, MA, 2012, pp. 1-78.
[4] Christian Bär and Werner Ballmann, Guide to boundary value problems for Dirac-type operators, in: W. Ballmann et al. (eds.), Arbeitstagung Bonn 2013, Prog. Math. 319, Birkhäuser, Cham, 2016, pp. 43-80.
[5] Christian Bär and Alexander Strohmaier, An index theorem for Lorentzian manifolds with compact spacelike Cauchy boundary, arXiv: 1506.00959 (2015).
[6] Nicole Berline, Ezra Getzler and Michèle Vergne, Heat kernels and Dirac operators, Grundlehren Text Editions, Springer-Verlag, Berlin 2004. Corrected reprint of the 1992 original.
[7] Tohru Eguchi, Peter B. Gilkey and Andrew J. Hanson, Gravitation, gauge theories and differential geometry, Phys. Rep. 66 (1980), no. 6, 213-393, DOI 10.1016/0370-1573(80)90130-1
[8] H. Blaine Lawson and Marie-Louise Michelsohn, Spin geometry, Princeton Mathematical Series, vol. 38, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1989.
[9] John Phillips, Self-adjoint Fredholm operators and spectral flow, Canad. Math. Bull. 39 (1996), no. 4, 460-467, DOI 10.4153/CMB-1996-054-4
[10] Joel Robbin and Dietmar Salamon, The spectral flow and the Maslov index, Bull. Lond. Math. Soc. 27 (1995), no. 1, 1-33, DOI 10.1112/blms/27.1.1
[11] John Roe, An index theorem on open manifolds, I, J. Differential Geometry 27 (1988), 87-113.
[12] John Roe, An index theorem on open manifolds, II, J. Differential Geometry 27 (1988), 115-136.