Die Skalarkrümmung ist der einfachste von mehreren nicht äquivalenten Begriffen intrinsischer Krümmung höherdimensionaler riemannscher Mannigfaltigkeiten. Die Frage, welche Bedingungen für die Skalarkrümmung etwas über die globale Form der Mannigfaltigkeit aussagen, wird seit vielen Jahrzehnten untersucht, hat jedoch durch Gromovs Four lectures on scalar curvature, in denen neue Konzepte und Techniken vorgestellt wurden, enormen Auftrieb erhalten. Wir leisten einen Beitrag zu diesem sehr aktiven Forschungsgebiet, wobei der Schwerpunkt auf Dirac-Operator-Methoden und Spin-Geometrie liegt.

Für kompakte riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Rand haben wir ein ziemlich vollständiges Verständnis von Randwertproblemen für elliptische Differentialoperatoren erster Ordnung. Der Wegfall der Kompaktheit führt zu subtilen Fragen, die derzeit untersucht werden. Das oben erwähnte Index-Theorem auf Lorentzmannigfaltigkeiten betrifft ein Randwertproblem, bei dem der Rand riemannsch ist. In dieser Situation ist noch nicht vollständig geklärt, welche Randbedingungen zulässig sind. Darüber hinaus sind viele grundlegende Fragen noch offen, wenn der Rand zeitartig oder eine Kombination aus zeitartig und raumartig ist.

Das Atiyah-Singer-Index-Theorem und seine Verfeinerung für Mannigfaltigkeiten mit Rand, die auf Atiyah, Patodi und Singer zurückgeht, gehören zu den bedeutendsten mathematischen Errungenschaften des 20. Jahrhunderts. Es berechnet den Index eines elliptischen Differentialoperators auf einer Mannigfaltigkeit in geometrischen und topologischen Größen und hat zahlreiche Anwendungen. Wir interessieren uns für die Index-Theorie auf Lorentz'schen Mannigfaltigkeiten, wo hyperbolische Operatoren untersucht werden müssen. Während es kein Lorentz'sches Analogon des Atiyah-Singer-Indexsatzes für geschlossene Mannigfaltigkeiten gibt, hat sich herausgestellt, dass es sehr wohl eines für den Atiyah-Patodi-Singer-Indexsatz für Mannigfaltigkeiten mit Rand gibt. Dies hat bereits Anwendungen in der Quantenfeldtheorie gefunden. Gegenwärtig entwickeln wir die Lorentz'sche Indextheorie mit Blick auf Anwendungen in der Lorentzgeometrie weiter.

Die Untersuchung von Wellengleichungen auf gekrümmten Raumzeiten ist ein wichtiges Forschungsgebiet der mathematischen Physik, insbesondere im Zusammenhang mit der allgemeinen Relativitätstheorie und der Quantenfeldtheorie. Wellengleichungen, die die Ausbreitung von Feldern wie elektromagnetischen Wellen, Gravitationswellen und Skalarfeldern beschreiben, nehmen eine komplexere Form an, wenn die zugrunde liegende Raumzeit gekrümmt ist. Diese Krümmung, die nach Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie den Einfluss der Schwerkraft darstellt, hat erhebliche Auswirkungen auf die Ausbreitung und Wechselwirkung dieser Wellen.

Die Untersuchung von Wellengleichungen auf gekrümmten Raumzeiten stellt eine große mathematische Herausforderung dar und führt zu Fortschritten in der Differentialgeometrie und der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Diese Gleichungen erfordern häufig ausgefeilte Techniken zur Behandlung von Existenz und Eindeutigkeit, Singularitäten, asymptotischem Verhalten und Stabilitätsfragen.