Seminar Geometrie: Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung

Christian Bär

Wintersemester 2009/2010

Im Seminar werden (nichtlineare) partielle Differentialgleichungen erster Ordnung besprochen. Das Seminar eignet sich also gut als Ergänzung zur Vorlesung über partielle Differentialgleichungen, kann aber auch unabhängig davon besucht werden.

Jede(r) Vortragende erstellt ein Handout, das zu Beginn des Vortrags an alle Hörer verteilt wird. Das Handout ist in LaTeX zu erstellen; eine Schablone findet sich hier. Jede(r) Vortragende bespricht ihre/seine Vortragskonzeption spätestens eine Woche vor dem Vortrag mit dem Tutor, Rainer Mühlhoff. Das Handout ist vorher per E-Mail einzureichen. Der Tutor leistet natürlich auch bei Verständnisproblemen Hilfestellung.

Wann:

Mittwoch, 17:00-18:30

Wo:

Haus 9, Raum 2.12

Handouts der Vorträge:

1. Überblick über gewöhnliche Differentialgleichungen, Es wird ein Überblick über die für das Weitere notwendigen Tatsachen über gewöhnliche Differentialgleichungen gegeben (Satz von Picard-Lindelöf, Existenz globaler Lösungen von linearen Gleichungssystemen).
2. Einführung in nichtlineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, Grundlegende Definitionen, vollständige Integrale, Einhüllende, Beispiele [Evans, S. 91-96]
3. Charakteristiken, Zugeordnete charakteristische gewöhnliche Differentialgleichung, Beispiele [Evans, S. 97-102]
4. Randbedingungen und lokales Existenztheorem, Nichtcharakteristische Randbedingungen, Existenz lokaler Lösungen des Randwertproblems [Evans, S. 103-109]
5. Spezialfälle und Beispiele, Lineare, quasilineare und voll nichtlineare Gleichungen [Evans, S. 110-115]
6. Zur Hamilton-Jacobi-Theorie, Variationsrechnung, Euler-Lagrange-Gleichungen, Hamilton-Gleichungen, Legendre-Transformation [Evans, S. 115 unten - 123 Mitte]
7. Hopf-Lax Formel, Konstruktion einer Lösung der Hamilton-Jacobi-Gleichung mittels eines Minimierungsverfahrens und Untersuchung ihrer Eigenschaften [Evans, S. 123-129 Mitte]
8. Schwache Lösungen, Definition einer schwachen Lösung, Eindeutigkeit, Hopf-Lax-Formel als Beispiel [Evans, S. 129 Mitte - 136]
9. Erhaltungsgesetze I, Schocks und Entropiebedingung [Evans, S. 136 unten - 144]
10. Erhaltungsgesetze II, Lax-Oleinik-Formel, schwache Lösungen, Eindeutigkeit [Evans, S. 144 unten - 154 Mitte]
11. Das Riemann-Problem, Riemann-Problem, Langzeitverhalten der Entropielösung [Evans, S. 154-162]
12. Analytische Funktionen, Definition und grundlegende Eigenschaften analytischer Funktionen [Evans, S. 221 Mitte - 228 oben]
13. Cauchy-Kowalevskaja-Theorem, Existenz lokaler Lösungen von Gleichungen mit analytischen Koeffizienten (im quasilinearen Fall) [Evans, S. 228-233]

Semester (empfohlen):

ab 3. Semester

Modulnummer(n):

621, 631, 651, 661, 852

Erforderliche Vorkenntnisse:

Literatur:

1. L. Evans: Partial Differential Equations, AMS 1998
2. F. John: Partial Differential Equations, 4. Aufl., Springer-Verlag 1982