Seminar Solitonen

PD Dr. C. Devchand

Sommersemester 2009

Die Theorie der linearen Gleichungen sagt voraus, dass sich Wellen im Laufe der Zeit ausbreiten. Ein bemerkenswertes Phänomen jedoch ist, dass unter Einfluß von nichtlinearen Effekten Wellen erzeugt werden können, die sich dispersionsfrei fortbewegen, also ihre Form nicht verändern. Solche Wellen heißen Solitonen. So kann es vorkommen, das Wellen (Tsunamis) zwei Ozeane überqueren, ohne ihre Energie zu verlieren, und dann zerstörerische Wirkung haben.

Dieses Seminar ist eine Einführung in die Theorie von Solitonen. Anhand der Modellbeispiele: Korteweg-de Vries- und sinus-Gordon-Gleichungen werden die Grundideen der Solitontheorie vorgestellt. Wir werden u.a. die folgenden Themen erarbeiten: Nichtlinearität kontra Dispersion, einfache Solitonlösungen, Bäcklund-Transformationen, Lax-Paare, Inverse Streumethode.

Vorausgesetzt werden nur Mathematikkenntnisse im Rahmen der linearen Algebra und elementaren Analysis. Das Seminar richtet sich an Studenten der Mathematik sowie Physik.

Die Erläuterung und Vergabe der einzelnen Vorträge finden in der ersten Sitzung statt.
Das Seminar richtet sich teilweise nach dem Skript von Palais [1].

Tipps zum Vorbereiten

Literatur:

1. R. S. Palais, An Introduction to Wave Equations and Solitons
2. R. S. Palais, The Symmetries of Solitons, Bull. Amer. Math. Soc. 34 (1997) 339-403
3. P. G. Drazin, R. S. Johnson, Solitons: An Introduction (Cambridge University Press, 1989)
4. R. Meinel, G. Neugebauer, H. Steudel: Solitonen: nichtlineare Strukturen (Akademie Verlag, 1991)
5. P. G. Drazin, Solitons, LMS Lect. Note Series 85 (Cambridge University Press, 1983)
6. G. Eilenberger, Solitons: Mathematical Methods for Physicists (Springer, 1981)
7. T. Miwa, M. Jimbo, E. Date, Solitons: differential equations, symmetries and infinite dimensional algebras (Cambridge Univ. Press, 2000)
8. R. A. Knobel, An introduction to the mathematical theory of waves (AMS, 2000)
9. G. B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves (Wiley, 1974)
10. R.K. Dodd, J.C. Eilbeck, J.D. Gibbon, H.C. Morris, Solitons and Nonlinear Wave Equations (Academic Press, 1982)
11. M.J. Ablowitz, P.A. Clarkson, Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering (Cambridge University Press, 1991)
12. M.J. Ablowitz, H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform (SIAM, 1981)
13. P.C. Schuur, Asymptotic analysis of soliton problems : an inverse scattering approach (Springer, 1986), Lecture notes in mathematics 1232
14. L.D. Faddeev, L. A. Takhtajan Hamiltonian methods in the theory of solitons (Springer, 1987)>
15. N. Zabusky, M. Kruskal, Interaction of "Solitons" in a Collisionless Plasma and the Recurrence of Initial States, Phys. Rev. Lett. 15, 240-243 (1965)
16. Ryogo Hirota, Exact Solution of the Korteweg-de Vries Equation for Multiple Collisions of Solitons, Phys. Rev. Lett. 27, 1192-1194 (1971)
17. A. Newell, Zeng Yunbo, The Hirota conditions, J. Math. Phys. 27 (1986) 2016-2021
18. C. Gardner, J. Greene, M. Kruskal and R. Miura, Method for Solving the Korteweg-deVries Equation , Phys. Rev. Lett. 19, 1095-1097 (1967)
19. P.D. Lax, Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves, Comm. Pure Appl. Math. 21 (1968) 467-490
20. M. J. Ablowitz, D. J. Kaup, A. C. Newell, and H. Segur, Method for Solving the Sine-Gordon Equation, Phys. Rev. Lett. 30, 1262-1264 (1973)

• Eine Biographie von John Scott Russell, BBC
• Solitonen in der Straße von Gibraltar
• Solitons Home Page, Heriot-Watt University, Edinburgh
• Many Faces of Solitons, K. Takasaki, Kyoto Uni.
• Sinus-Gordon Solitonen, Tver Uni.