Organisatoren: Christian Bär (Potsdam), Bernhard Hanke (Augsburg)

In der Cartan-Kähler-Theorie studiert man die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen äußerer Differentialsysteme. Dabei handelt es sich um eine geometrische Formulierung von Systemen partieller Differentialgleichungen. Sie sind für Anwendungen in der Differentialgeometrie häufig sehr gut geeignet. Der allgemeinste Existenzsatz für Lösungen ist das Cartan-Kähler-Theorem, das das Cauchy-Kovalevskaya-Theorem verallgemeinert und Analytizität des Differentialsystems voraussetzt. In einfacheren Situationen kommt man auch mit Glattheit des Systems aus, z.B. beim Frobenius-Theorem.

Im Seminar werden die erforderlichen Konzepte eingeführt, das Cartan-Kähler-Theorem bewiesen und Cartans wichtiger Test besprochen, der die Anwendbarkeit des Theorems überprüft. Außerdem werden zahlreiche geometrische Anwendungen besprochen.

Der Artikel von Kamran [K1] bietet eine schöne Übersicht und sollte von jedem Teilnehmer vor Beginn des Seminars gelesen worden sein.

Jeder Vortrag dauert 60 Minuten plus Diskussion. Aus Ermangelung einer Tafel werden die Vorträge mit zwei Overheadprojektoren gehalten. Ganz wichtig ist hierbei, dass die Folien nicht vorbereitet mitgebracht werden, sondern, wie an einer Tafel, während des Vortrags live beschrieben werden.

Das Seminar findet in der Abtei Frauenwörth auf der Fraueninsel im Chiemsee statt. Anreise ist am 16.6.2013 zum Abendessen, die Abreise am 21.6. nach dem Mittagessen.

Vortragsprogramm:

1. Einführung (Christian Bär)
   
2. Äußere Differentialsysteme (Matthias Ludewig)
   Differentialideale, äußere Differentialsysteme (ÄDS) mit und ohne Unabhängigkeitsbedingung, partielle Differentialgleichungen als ÄDS
   [IL: 1.9 bis Def. 1.9.8 sowie B.4], [B: 1.1-1.2]
3. Sätze von Frobenius und Pfaff (Viktoria Rothe)
   Beweis des Satzes von Frobenius mittels Differentialidealen
   [IL: S.30-33], [B: 1.3-1.4]
4. Abbildungen nach Lie-Gruppen (Frank Loose)
   Maurer-Cartan-Form, Satz von Cartan und Beweis mittels Frobenius-Theorem, Anwendungen auf Kurven, Fundamentalsatz der Hyperflächentheorie
   [IL: 1.6-1.8 sowie Thm. 2.6.15], [B: 2.3]
5. Tableaus (Robin Raymond)
   Definition und Beispiele für Tableaus, Cartan-Kähler-Theorem in Spezialfall
   [IL: 4.1-4.2]
6. Cartan-Kähler-Theorem für Tableaus (Pirmin Vollert)
   [IL: 4.3-4.5]
7. Charakteristische Varietät eines Tableaus (Achim Krause
   [IL: 4.6]
8. Lineare Pfaff'sche Systeme (Max Lewandowski)
   [IL: 5.1-5.3]
9. Cartan-Kähler-Theorem für lineare Pfaff'sche Systeme (Florian Hanisch)
   Torsion und Verlängerung von Tableaus, Cartan-Kähler-Theorem
   [IL: 5.5-5.6]
10. Anwendungen I (Klaus Kröncke)
    Weingarten-Flächen, Existenz konformer Abbildungen, Existenz isothermer Koordinaten
    [IL: S. 183-185], [C: 130-138]
11. Anwendungen II (Christoph Stephan)
    Isometrien zwischen Flächen, die die Asymptoten- oder Krümmungslinien oder die Hauptkrümmungen erhalten
    [C: S. 144-156]
12. Anwendungen III (Ariane Beier)
    Lagrange-Untermannigfaltigkeiten, Minimalflächen
    [IL: S. 185-188]
13. Anwendung IV: Isometrisches Einbettungsproblem (Ramona Ziese)
    Satz von Cartan-Janet über lokale isometrische Einbettbarkeit analytischer riemannscher Mannigfaltigkeiten
    [IL: 5.4, 5.10]
14. Partielle Differentialgleichungen (David Hansen)
    Charakteristisches Vektorfeld, Methode der Charakteristiken, Cauchy-Kovalevskaya-Theorem (ohne Beweis)
    [IL: 6.1, D]
15. Kähler-Regularität (Alexandru Doicu/Jonathan Bowden)
    [IL: 7.1]
16. Cartan-Kähler-Theorem und Cartans Test (Alexander Engel)
    [IL: 7.3-7.4]
17. Anwendungen (Christopher Wulff)
    Flächen mit konstanter Hauptkrümmung, Weingarten-Flächen, Hyperflächen konstanter Skalarkrümmung in S⁴
    [IL: 7.5]

Literatur:

[B] R. Bryant: Nine Lectures on Exterior Differential Systems, Lecture Notes

[BCG3] R. Bryant, S. Chern, R. Gardner, H. Goldschmidt, P. Griffiths: Exterior differential systems, Springer-Verlag 1991

[C] E. Cartan: Les systèmes différentiels extérieurs et leurs applications géométriques, Hermann 1945

[IL] T. A. Ivey, J. M. Landsberg: Cartan for Beginners, Graduate Studies in Mathematics 61, AMS 2003

[K1] N. Kamran: Exterior differential systems and Cartan-Kähler theory, Acta Appl. Math. 87 (2005), 147-164

[K2] N. Kahouadji: Cartan-Kähler Theory and Applications to Local Isometric and Conformal Embedding, arXiv:1304.5605

Das Blockseminar wurde unterstützt durch