Diese Vorlesung bietet eine Einführung in die Differential- und Integralrechnung in einer Variablen. Dazu werden Grundlagen wie Konvergenz und Divergenz von Folgen und Reihen, Stetigkeit und topologische Grundbegriffe besprochen.

In der Vorlesung werden die Grundkenntnisse der linearen Algebra und analytischen Geometrie vermittelt, die zum Verständnis fast aller Gebiete der Mathematik erforderlich sind. Zum Inhalt der Vorlesung gehören u.a. lineare Gleichungssysteme, Vektorräume, Skalarprodukte, Determinanten und Volumina, Quadriken und Kegelschnitte sowie Eigenwertprobleme.

1. C. Bär: Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Springer 2018

   (In der Vorlesung gehen wir im wesentlichen nach diesem Buch vor)

1. Bosch: Lineare Algebra, 5. Aufl., Springer 2014
2. Bröcker: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Birkhäuser, Basel 2004
3. Fischer: Lineare Algebra, Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010
4. Koecher: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Springer, Berlin-Heidelberg 2003

Die Vorlesung ist die Fortsetzung von Analysis I und II. Die Themen sind Maß- und Integrationstheorie, sowie gewöhnliche Differentialgleichungen.

Nach wie vor ist Souveränität beim präzisen Erfassen und Verfassen auch komplizierter Texte eine akademische Grundkompetenz von herausragender Bedeutung, sowohl für Jura, Philosophie, Literatur als auch in Mathematik und den Naturwissenschaften.

Anhand ausgewählter Probleme und Texte aus diesen Bereichen wird dies in der gebotenen Dimension erfassbar, insbesondere durch wöchentliche Lese- und Schreibaufgaben. Beherrschung von Englisch (passiv und aktiv) wird vorausgesetzt. Während wir zunächst thematisch breit gestreut beginnen, werden wir uns gegen Ende der Veranstaltung auf die Bearbeitung mathematischer Texte und Aufgaben konzentrieren, und uns um eine kontinuierliche Verbesserung des schriftsprachlichen Ausdrucksvermögens bemühen. Abgeschlossen wird das Modul durch die erfolgreiche Teilnahme an einem 5stündigen Schreibpraktikum.

Literatur wird in der Veranstaltung ausgegeben bzw. ist aus dem Internet und/oder Bibliotheken zu beschaffen.

Das Modul vermittelt eine Einführung in die Grundlagen der Algebra, die zum Verständnis weiterführender Lehrveranstaltungen zum Beispiel aus den Bereichen Zahlentheorie oder Geometrie notwendig sind.

Je nach Schwerpunkt werden folgende Themen behandelt: Gruppentheorie: Homomorphismen und Normalteiler, Sylowsätze, auflösbare Gruppen und direkte Produkte; Ringtheorie: Ideale, Homomorphismen und Module, Gauß sche, Noethersche und Euklidische Ringe, Chinesischer Restsatz, Eulersche Phi-Funktion; Körpertheorie: endliche, algebraische, separable und transzendente Körpererweiterungen, Galoistheorie und Anwendungen.

Skripte zur Vorlesung stehen auf der Homepage der Professur oder unter: www.math.uni-potsdam.de/professuren/algebra-und-zahlentheorie/lehre/ zur Verfügung.

In dieser einführenden Vorlesung zur Differentialgeometrie behandeln wir die Theorie von Kurven und Flächen im euklidischen Raum. Wir lernen verschiedene Möglichkeiten kennen ihre Krümmung zu definieren und zu interpretieren. Desweiteren charakterisieren wir die Kurven auf gekrümmten Flächen, welche die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten realisieren. Dies ermöglicht es uns verschiedene Eigenschaften der inneren Geometrie von Flächen zu beweisen. Unter anderem beweisen wir den Satz von Gauß-Bonnet, der uns eine konkrete Verbindung zwischen der Geometrie und der Topologie einer Fläche gibt (, ,Wie können wir an der Krümmung erkennen, wie viele Löcher eine Fläche hat?'').

1. Bär, C.: Elementare Differentialgeometrie, deGruyter 2001 (2. Aufl., 2010)

   (Die Vorlesung folgt im wesentlichen dieser Einführung in die Differentialgeometrie.)

Das Modul vermittelt eine Einführung in die Stochastik, die zur mathematischen Modellierung zufälliger Erscheinungen erforderlich ist. Folgende Begriffe werden behandelt: Zufällige Ereignisse und Wahrscheinlichkeit, Elementare bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit, Zufallsvariable und Momente, Grenzwertsätze: Gesetze der groß en Zahlen, Zentraler Grenzwertsatz. Es werden vor allem diskrete Modelle analysiert, zum Beispiel der (un)endliche Münzwurf.

1. G. Fischer: Stochastik einmal anders, Vieweg (2005)
2. H.-O. Georgii: Stochastik, Walter de Gruyter, 5. Auflage, 2015
3. N. Henze: Stochastik für Einsteiger, Vieweg, 9. Auflage, 2012
4. W. Linde: Stochastik für das Lehramt, Walter de Gruyter, 2014

Das Modul vermittelt eine Einführung in das Gebiet der numerischen Mathematik. Behandelte Teilgebiete umfassen die numerische Quadratur und Interpolation sowie das Lösen von Gleichungssystemen. Ziel des Kurses ist es, sowohl eine fundierte theoretische Grundlage als auch Aspekte der praktischen Anwendung numerischer Algorithmen zu vermitteln.

Das Gebiet der Finanzmathematik ist charakterisiert durch seine Interdisziplinarität. Neben den natürlichen Verbindungen zur Finanzwirtschaft gibt es auch innerhalb der Mathematik eine groß e Vielzahl an beteiligten Disziplinen; insbesondere aus der Stochastik, der Differentialgleichungen und der Numerik. Die Vorlesung führt aus, in welcher Weise diese Disziplinen insbesondere bei der Modellierung von Termingeschäften zusammenwirken.

Dieser Kurs vermittelt erste Programmierkenntnisse mit Hilfe der Programmiersprache Java. Neben Grundlagen der Programmierung (Variablen, Schleifen, Bedingungen, Unterprogramme...) werden auch erste Einblicke in die moderne objektorientierte Programmierung gegeben. Am Ende des Kurses steht die gemeinsame Entwicklung eines dynamischen, interaktiven Applets. Hierbei wird auch das Entwicklungswerkzeug Subversion eingeübt.

Im Mittelpunkt dieses Moduls steht die statistische Studie und quantitative Analyse der Abhängigkeit zwischen beobachteten zufälligen Größ en (beispielsweise Ausbeute/Einstellungsgröß en Produktion; Lebensdauer/Behandlungsart und Verletzungsart). Wesentliche Grundlagen für die statistische Behandlung derartiger Zusammenhänge liefert das lineare Regressionsmodell, das im ersten Teil der Vorlesung ausführlich studiert wird. In diesem Rahmen werden die Fragestellungen des Schätzers, Testens, und der Unsicherheitsquantifizierung (Varianzanalyse) behandelt. Im zweiten Teil wird eine Einleitung zu fortgeschrittenen Methoden und Ansätzen zur Untersuchung von Beziehungen angeboten. Dazu gehören nichtlineare und nichtparametrische Regressionsmodelle. Darüber hinaus werden Fragen der Klassifikation und Dimensionsreduktion behandelt.

Die Studierenden arbeiten sich in einen vorgegebenen mathematischen Test ein, tragen darüber vor und verfassen eine ausführliche Ausarbeitung in Form einer Projektarbeit. Neben der Aufbereitung mathematischer Texte unter Zuhilfenahme geeigneter Literatur erlernen die Studierenden die Strukturierung und Präsentation mathematischer Sachverhalte sowohl in mündlicher als auch in schriftlicher Form.

Die Vorlesung Elementare Zahlentheorie bietet eine Einführung in die Grundlagen der Elementaren Zahlentheorie. Behandelt werden dabei unter anderem die Einheitengruppen der Ringe {\bf Z/nZ}, das quadratische Reziprozitätsgesetz für das Legendre- und das Jacobi-Symbol, einige Primzahltests, die Darstellungen von natürlichen Zahlen als Summen von 2, 3 oder 4 Quadraten, grundlegende Eigenschaften von Kettenbrüchen und deren Anwendungen. Die Anzahl der Teilnehmenden ist auf 10 Studierende beschränkt.

Eine Anmeldung zur Lehrveranstaltung ist unabhängig von der Belegung bei PULS ab dem 1. Oktober 2019 möglich. Die Anmeldung erfolgt nur via Email an: jrungenh@uni-potsdam.de

Fast alle physikalischen Gesetze können als Gleichung für die partiellen Ableitungen einer gesuchten Funktion formuliert werden.

In dieser Vorlesung werden solche partiellen Differentialgleichungen systematisch untersucht. Eine herausragende Position nehmen die klassischen Beispiele der Poissongleichung, der Wärmeleitungsgleichung und der Wellengleichung als Repräsentanten der drei Haupttypen von partiellen Differentialgleichungen ein. Es werden verschiedene direkte Methoden präsentiert, mit denen Lösungen für diese Beispiele gewonnen werden können.

Der Hauptteil der Vorlesung wird sich mit der allgemeinen Lösungstheorie zu elliptischen partiellen Differentialgleichungen, beschäftigen.

Hinweis: Im Sommersemester wird eine Fortsetzung dieser Veranstaltung angeboten, für die der Besuch der Vorlesung Funktionalanalysis vorausgesetzt wird.

1. Gilbarg, Trudinger: Elliptic Partial Differential equations of second Order, Springer
2. Jost: Partielle Differentialgleichungen, Springer
3. Evans: Partial Differential Equations, AMS
4. Krylov: Lectures on Elliptic and Parabolic Equations in Hölder spaces, AMS
5. John: Partial Differential Equations, Springer

This course provides a general detailed introduction into the stochastic integration theory wrt the Brownian motion and the field of stochastic differential equations. The concepts taught are highly relevant for many areas of statistics, (numerical) analysis as well as financial and insurance mathematics. Stochastic analysis is also the basis for many models in the natural and social sciences or engineering.

Keywords: Brownian motion and Wiener process; (Continuous) martingale theory; Stochastic integration in $L^2$; Itô-formula; Stochastic Exponential; Stochastic differential equations.

1. R. Durett, Essentials of stochastic processes, 1999
2. Klenke, A. Probability Theory, A Comprehensive Course, 2. Auflage Springer 2014
3. Mörters, P. und Peres, Y. Brownian motion, Cambridge Univ. Press 2010

1. Lineare Randwertaufgaben zweiter Ordnung, Differenzenverfahren, adaptive Gitterverfeinerung, Galerkin-Verfahren, Schießverfahren 2. Theorie Sturm-Liouvillescher Eigenwertaufgaben, Greensche Funktion 3. Numerov-Methode, Schießverfahren und Prüfer-Algorithmus, Pruess-Methode 4. Randwertmethoden basierend auf linearen Mehrschrittverfahren

1. M. Hanke-Bourgeois, Grundlagen der numerischen Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens, Teubner-Verlag.
2. H. Heuser, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner Verlag.
3. L. Brugnano, D. Trigiante, Solving Differential Problems by Multistep Initial and Boundary Value Methods, Gordon and Breach Science Publishers
4. J.D. Pryce, Numerical Solution of Sturm-Liouville Problems, Clarendon Press.

Lorentzian geometries are geometries which arise from pseudo-Riemannian metric tensors whose matrices have a single negative eigenvalue. Their significance lies in that they are the basis of general relativity. This course will be an introduction to the topic. We will examine questions of causality on Lorentzian manifolds and towards the end of the course we will study the structure of globally-hyperbolic manifolds or prove Penrose's and Hawking's singularity theorems depending on the interest of the audience.

1. B. O'Neill: Semi-Riemannian Geometry - With Applications to Relativity, Academic Press, 1983
2. C. Bär: Lorentzgeometrie, Vorlesungsskript, Universität Potsdam, 2006

In der Veranstaltung werden die Grundlagen der Stochastik gelegt. Nach der ausführlichen Motivation und Einführung der Grundbegriffe werden die Konzepte der Unabhängigkeit von Zufallsvariablen, bedingte Wahrscheinlichkeiten und Momente (Erwartungswert und Varianz) vorgestellt. Dann wird das Gesetz der Groß en Zahl gezeigt und der zentrale Grenzwertsatz (Approximation durch die Gauß -Verteilung) motiviert und angewandt. Die Vorlesung endet mit elementaren statistischen Anwendungen.

The Survey of Interdisciplinary Mathematics illustrates the role of mathematical modelling, theory and simulation in gaining insight into applied research questions, exemplified for Inverse ill-posed Problems, Regularization Methods and Applications in Atmospheric Aerosol Physics (apl. Prof Böckmann), Mathematical Pharmacology (Dr Hartung) and Approximation of large-scale dynamical systems (Prof Freitag). There will be a fourth topic (tba).

Neben einer Einführung von grundlegenden Begriffen und Sätzen der Funktionalanalysis in Banach- und Hilberträumen (wie die Sätze von Hahn-Banach und Banach-Steinhaus) werden die Resultate und Methoden speziell im Hinblick auf Anwendung in der Wahrscheinlichkeitstheorie sowie auf stochastische Prozesse betrachtet und vertieft. Dieser Aspekt wird im folgenden Semester dann noch stärker vertieft.

Die Vorlesung ist u.a. Teil der Profilrichtungen ''Mathematische Modellierung und Datenanalyse'' und ''Strukturen der Mathematik mit physikalischen Hintergrund'' im Studiengang Master of Science Mathematik.

Die VL richtet sich an Studierende der Mathematik bzw. Physik. Sie ist geeignet für das Masterstudium oder ein fortgeschrittenes Bachelorstudium.

Beside an introduction of basic notions and theorems in the area of functional analysis in Banach- and Hilbertspaces (as the Hahn-Banach-Theorem and Banach-Steinhaus-Theorem), the results and methods will be considered and amplified concerning the application to probability and stochastic processes. This aspect will be analyzed more deeply in the following term.

The lecture is part of the profiles ''Mathematical modelling and data analysi'' and ''Structures of Mathematics with physical background'' in the course of studies Master of Science Mathematics

The lecture adresses to students of mathematics and physics. It is appropriate for Master students or for advanced Bachelor students.

1. Walter Rudin: Functional Analysis, Mc Graw-Hill, 1991
2. Adam Bobrowski: Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes, Cambridge University Press, 2005
3. M. Reed, B.Simon: Functional Analysis, Academic Press, 1980

Das Seminar behandelt Grundlagen als auch aktuelle Forschungsergebnisse über direkte und inverse Sturm-Liouville Probleme sowie deren Anwendungen. Es ist Forum für nationale und internationale Gäste der Arbeitsgruppe.

Im Seminar werden geometrische Fragestellungen besprochen. Das genaue Vortragsprogramm wird auf der Webseite (URL siehe unten) noch bekanntgegeben.

In diesem Seminar werden Themen aus den Bereichen der Differentialgeometrie und der Allgemeinen Relativitätstheorie besprochen. Interessenten sind herzlich willkommen.

We study quadratic form techniques and functional inequalities to obtain upper bounds on the heat kernel. While the ultimate goal is to derive these bounds for elliptic differential operators, most of underlying concepts will be treated in a more abstract setting. Essential concepts which will be studied include Dirichlet forms, contractivity properties of the semigroups and logarithmic Sobolev inequalities.

1. Davies, E. B. Heat kernels and spectral theory. Cambridge Tracts in Mathematics, 92. Cambridge University Press, Cambridge, 1990. x+197.

Es werden Themen aus dem Grenzbereich zwischen Differentialgeometrie, mathematischer Physik und Analysis behandelt.

Das Seminar behandelt aktuelle Forschungsergebnisse aus der Theorie der Stochastischen Prozesse.

Das Seminar behandelt aktuelle Forschungsergebnisse aus der Differentialgeometrie. Das genaue Vortragsprogramm wird auf der Webseite (URL siehe unten) noch bekanntgegeben.

Es werden aktuelle Forschungsergebnisse vorgestellt.

Das Seminar widmet sich aktuellen Forschungsthemen aus der Analysis, Geometrie und Stochastik auf Graphen. Das Vortragsprogramm wird auf der Lehrstuhlwebseite bekannt gegeben.

Die insgesamt viersemestrige obligatorische Anfägervorlesung beginnt im ersten Semester mit allgemeinen Grundlagen, der Linearen Algebra und zentralen Begriffen der eindimensionalen Analysis für Funktionen einer reellen bzw. komplexen Variablen. Hierzu gehören die Themen Folgen, Reihen, Differential- und Integralrechnung nebst Anwendungen.

1. Nikolai Tarkhanov, Mathematik für Physiker, Universität Potsdam, 2002

In der Vorlesung, die auf den Grundlagen der linearen Algebra und der Analysis in einem und mehreren Dimensionen beruht, werden mehrere Anwendungen dieser Kenntnissen besprochen. Unter anderem werden gewöhnliche Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Distributionen, die Fourier Transformierte, holomorphe und meromorphe Funktionen diskutiert, die alle wichtige Werkzeuge der Physik sind.

1. H. Amann, J. Escher, Analysis II, III, Springer Verlag 2006
2. E. Brieskorn, Lineare Algebra und analytische Geometrie I, II, Springer Verlag 1983
3. H. Fischer, H. Kaul, Mathematik für Physiker 1, 2, 3, Vieweg und Teubner 2011
4. S. Hilderbrandt, Analysis 2, Springer Verlag 2003
5. H. Kerner, W. von Wahl, Mathematik für Physiker, Springer Spektrum 2010
6. S. Lang, Calculus of several variables, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer Verlag 1973
7. S. Lang, Complex analysis, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag 1977
8. R. Wüst, Mathematik für Physiker und Mathematiker, Band 2, Wiley VCH 2009
9. N. Tarkhanov, Mathematik für Physiker und Mathematiker, Skript

Die Vorlesung behandelt Grundbegriffe der Aussagenlogik und Mengenlehre, Zahlensysteme, mathematische Beweistechniken, sowie Grundlagen der Analysis. Die Studierenden werden mit der Arbeitsweise der Mathematik als Wissenschaft und mit mathematischen Methoden sowie technischen Rechenfertigkeiten vertraut gemacht.

Die Vorlesung behandelt Grundbegriffe der linearen Algebra, wie z.B. Vekorräume, Matrizen & lineare Gleichungssysteme, Determinanten, Hauptachsentransformationen, Skalarprodukte und Singulärwerte.

Die Studierenden werden mit folgenden Inhalten vertraut gemacht: Mengenlehre und Logik, lineare Algebra, Reihen, Folgen, Grenzwert, Einführung in die Graphentheorie. Sie werden nach der Vorlesung in der Lage sein, grundlegende mathematische Konzepte zu verstehen und zur Lösung praktischer Probleme, vornehmlich aus dem Themenfeld der Wirtschaftsinformatik, anzuwenden, denn sie verfügen über das Basiswissen, um weiterführende mathematische Inhalte erarbeiten zu können.

Die Mathematik ist eine Sprache, in der sich komplexe biologische Zusammenhänge und Hypothesen in einer Art formulieren lassen, die sie sowohl einer theoretischen Untersuchung als auch einer experimentellen Überprüfungen zugänglich machen. Mathematische Modelle erlauben es, Wissen aus ganz unterschiedlichen Experimenten zu integrieren und auf neue Situationen zu extrapolieren. Diese Vorlesung vermittelt erste mathematisches Sprachkenntnisse, die dafür notwendig sind. Ausgehenden von der Schulmathematik werden wir folgende Themen behandeln: Funktionen, Folgen, Konvergenz und Stetigkeit, Differentialrechnung, Integralrechnung, lineare Algebra, unbeschränkte und beschränkte Wachstumsmodelle, lineare Regression und allometrische Modelle.

Zu Beginn werden in einer Einführung in die Theorie der Differenzengleichungen (approximative) Lösungsverfahren, (stabile und instabile) Gleichgewichtszustände sowie Zyklen vorgestellt. Im Anschluss werden gewöhnliche Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme, insbesondere zur Beschreibung biologischer Prozesse wie Populationswachstum und Räuber-Beute-Zyklen behandelt. Neben analytischen und approximativen Lösungsverfahren werden hierbei qualitative Methoden zur Analyse des Verhaltens von dynamischen Systemen eingeführt, insbesondere die Theorie stabiler und instabiler Gleichgewichtszustände. Anschließend werden einfache Graphen und Netzwerke zur Beschreibung von Prozessen wie z.B. Protein-Protein-Interaktionen und genregulatorische Prozesse behandelt und Methoden zur Untersuchung der Dynamiken auf Netzwerken (z.B. Markovketten, Boolesche Netzwerke) und zur Netzwerkanalyse (z.B. Feedback-Loops) vorgestellt.

Ausgehend von Methoden der Beschreibenden Statistik (Grafische und tabellarische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen und Ermittlung statistischer Kennzahlen) werden basierend auf Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Verfahren der Schließenden Statistik ausführlich behandelt. Hierbei geht es sowohl um die Vermittlung von Grundideen des statistischen Schätzens und Testens als auch um die konkrete rechentechnische Realisierung der Verfahren. Ziel ist es, die Studierenden in die Lage zu versetzen, einfache statistische Verfahren selbständig anzuwenden und durch Software-Programme erhaltene Ergebnisse einer statistischen Analyse zu interpretieren. Schwerpunkte werden sein: Stichprobe und Grundgesamtheit, Punkt- und Bereichsschätzungen, t-Test, Chi-Quadrat-Tests und Rangtests, Methoden der linearen Regression und Varianzanalyse. In der Übung wird die rechentechnische Umsetzung der in der Vorlesung dargestellten Verfahren in der Sprache R demonstriert.

1. Grundbegriffe der Logik und Mengenlehre
2. Lineare Algebra: Vektor- und Matrizenrechnung, allgemeine Vektorräume, lineare Abbildungen und die Lösbarkeit allgemeiner linearer Gleichungssysteme, Gauß -Verfahren, Eigenwerte, komplexe Zahlen
3. Folgen und Reihen, Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
4. Differentialrechnung, Lösung einfacher gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung, Anwendungsprobleme

Gegenstand des Kurses sind grundlegende Elemente der Programmiersprache Fortran 95. Damit sollen die Teilnehmer in die Lage versetzt werden, die Lösung einfacher Probleme selbst zu programmieren, aber auch komplexere Programme zu lesen und zu verstehen. Die Veranstaltungen werden als Übung am Rechner durchgeführt. Behandelt werden u.a. Schleifen, Verzweigungen, Typen und Datenstrukturen, Dateiarbeit (Ein- und Ausgabe), Funktionen, Subroutinen und Module.

Weitere Informationen im moodle-Kurs ''FORTRAN für Geoökologen WS19''

Einführungsveranstaltung: 16.10.2019, 10.00 Uhr, 2.09.1.24