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Veranstaltung |
Dozent |
Modulnummer |
| V+Ü | Algebraische Zahlentheorie |
Prof. Gräter | 721, 751, 752, 771, 772, 781, 81j, A510, A710, A750 |
| Umfang | 4h |
| Inhalt | Die Vorlesung stellt im Wesentlichen eine Einführung in die klassischen Resultate der algebraischen Zahlentheorie dar. Behandelt wird zunächst die Idealtheorie allgemeiner Dedekindringe, die zum Beispiel als Ganzheitsbereiche algebraischer Zahlkörper auftreten, aber auch in der Theorie der algebraischen Funktionen einer Unbestimmten eine zentrale Rolle spielen. Ziel dieser Einführung ist es, die Dedekindsche Idealtheorie algebraischer Zahlkörper zu entwickeln und den Dirichletschen Einheitensatz zu beweisen.
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| Voraussetzungen | Grundkenntnisse der Algebra |
| Zielgruppe | DM, BA-LG, BA-M, MA-LG, MA-M |
| Leistungsnachweis | Lösen von Hausaufgaben, Vortragen dieser Lösungen in den Übungsstunden und Beantworten von Fragen zum Inhalt (Modulprüfung/Übungsschein) |
| Übungsleiter | Friedrich Jakobs |
| Übungen | 2h |
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| V+Ü | Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen |
Prof. Metzger | 752, 781, 82j, A710, A750 |
| Umfang | 4h |
| Inhalt | In dieser Vorlesung wird die grundlegende Theorie zur Existenz und
Regularität von Lösungen zu nichtlinearen elliptischen
partiellen Differentialgleichungen behandelt. Basis dafür ist die
Theorie der linearen elliptischen Gleichungen, die vorausgesetzt
wird. Die allgemeine Herangehensweise wird beispielhaft an der
Minimalflächengleichung und verwandten Gleichungen erklärt.
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| Literatur |
- Gilbarg, Trudinger: Elliptic Partial Differential equations of
second Order, Springer
- Evans: Partial Differential Equations, AMS
- Weitere Literatur wird in der Vorlesung bekannt gegeben.
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| Voraussetzungen | Kenntnisse über lineare elliptische Partielle
Differentialgleichungen, etwa im Umfang der Vorlesung
Partielle Differentialgleichungen aus dem Wintersemester
2012/13 und grundlegende Kenntnisse der Funktionalanalysis. |
| Zielgruppe | BA-M, MA-M, DM |
| Leistungsnachweis | Mündliche Prüfung |
| Übungsleiter | N.N. |
| Übungen | 2h |
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| V+Ü | Lévyprozesse |
Dr. Högele | 771, 772, A510, 752, 721, 751, A710, A750, 83j |
| Umfang | 2h |
| Inhalt | Im ersten Teil der Vorlesung werden stochastische Prozesse in stetiger Zeit eingeführt
und Lévyprozesse als wichtige Klasse von Prozessen vorgestellt.
Hauptbeispiele sind die Brownsche Bewegung und (zusammengesetzte) Poisson Prozesse.
Danach werden wichtige klassische Eigenschaften bewiesen,
unter anderen die Darstellungssätze von Lévy-Chinchine und Lévy-Itô.
Im zweiten Teil wird der stochastische Kalkül mit Lévyprozessen eingeführt.
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| Literatur |
- Applebaum: Lévy processes and stochastic calculus
- Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie
- Protter: Stochastic integration and differential equations
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| URL | http://users.math.uni-potsdam.de/~hoegele/ |
| Voraussetzungen | Grundvorlesung Stochastik, eine weitere Stochastikveranstaltung,
Fähigkeit einzelne fehlende Grundlagen unter Anleitung selbst anzulesen |
| Zielgruppe | BA-M, BA-LG, MA-M, MA-LG
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| Leistungsnachweis | Klausur oder mündliche Prüfung |
| Übungsleiter | Dr. Högele |
| Übungen | 2h |
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| V+Ü | Lévy prozess |
Dr. Högele | 771, 772, A510, 752, 721, 751, A710, A750, 83j |
| Umfang | 2h |
| Inhalt | In the first part of the lecture we with introduce processes with a continuous
time parameter and present Lévy processes as an important class of processes.
Main examples are Brownian motion an (compound) Poisson processe.
After that we will prove classical properties, among them the representation
theorems of Lévy-Chinchine and Lévy-Itô. The second part of the lecture
is dedicated to the stochastic calculus with Lévy processes.
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| Literatur |
- Applebaum: Lévy processes and stochastic calculus
- Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie
- Protter: Stochastic integration and differential equations
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| URL | http://users.math.uni-potsdam.de/~hoegele/ |
| Voraussetzungen | Grundvorlesung Stochastik, eine weitere Stochastikveranstaltung,
Fähigkeit einzelne fehlende Grundlagen unter Anleitung selbst anzulesen |
| Zielgruppe | BA-M, BA-LG, MA-M, MA-LG
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| Leistungsnachweis | Klausur oder mündliche Prüfung |
| Übungsleiter | Dr. Högele |
| Übungen | 2h |
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| V+Ü | Stochastische Modellierung für komplexe Systeme |
Prof. Roelly | 721, 751, 752, 771, 772, A510, A710, A750, 83j |
| Umfang | 4h |
| Inhalt | Diese Vorlesung ist eine Erweiterung/Anwendung der VL Stochastik. Es werden Eigenschaften und Grundtypen wichtiger zufälliger Prozesse behandelt: Markov Ketten, Martingale mit diskreter Zeit, Poisson Prozesse.
Eine Reihe von Beispielen werden analysiert, insbesondere Modelle aus der Physik, Biologie oder Ökologie.
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| Literatur |
- R. Durett, Essentials of stochastic processes, 1999
- N. Norris, Markov Chains, 1998
- J. Istas, Mathematical Modeling for the Life, 2008
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| Voraussetzungen | Stochastik |
| Zielgruppe | DM, DP, BA-LG, MA-LG, BA-M, MA-M |
| Leistungsnachweis | Klausur |
| Übungsleiter | André Gomes |
| Übungen | 2h |
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| V+Ü | Mengenlehre |
Prof. Weese | 721, 751, 752, 771, 772, A510, A710, A750, 81j |
| Umfang | 4h |
| Inhalt | In dieser Vorlesung werden die Grundlagen der axiomatischen Mengenlehre behandelt. Ausgehend von den Axiomen der Mengenlehre werden Eigenschaften von Ordinal- und Kardinalzahlen untersucht.
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| Voraussetzungen | Mathematische Logik |
| Zielgruppe | DM, BA-M, BA-LG, MA-M, MA-LG |
| Leistungsnachweis | Klausur |
| Übungsleiter | Dr. Scharfenberger-Fabian |
| Übungen | 2h |
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| V+Ü | Topologische Gruppen |
Dr. Braunß | 721, 751, 752, 771, 772, 781, 82j, A510, A710, A750 |
| Umfang | 4h |
| Inhalt |
Einführend werden topologische Grundbegriffe wie topologischer Raum, offene bzw.
abgeschlossene Teilmengen, Kompaktheit, Zusammenhang, ... betrachtet. Die anschließende
Behandlung der topologischen Gruppen konzentriert sich auf lokalkompakte Gruppen und soll
über das Haar-Maß bis zur Darstellungstheorie führen.
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| Voraussetzungen | Grundkenntnisse in der Gruppentheorie |
| Zielgruppe | BA-M, BA-LG, MA-M, MA-LG |
| Leistungsnachweis | Klausur |
| Übungsleiter | Dr. Braunß |
| Übungen | 2h |
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| V+Ü | Funktionalanalysis II |
Prof. Klein | 721, 781, 82j, A710, A750 |
| Umfang | 4h |
| Inhalt | Zentrales Thema ist die Spektraltheorie beschränkter und unbeschränkter
selbstadjungierter Operatoren in einem Hilbertraum, mit besonderem Gewicht auf Operatoren
und Anwendungen aus dem Bereich der mathematischen Physik. Nach dem Beweis des
Spektralsatzes wird der Zusammenhang von hermiteschen Formen und selbstadjungierten
Operatoren sowie Kriterien für Selbstadjungiertheit (mit Beispielen) diskutiert.
Speziellere Themen sind: Mini-Max Theorem und Störungstheorie für das diskrete Spektrum,
der Satz von Weyl über die Invarianz des wesentlichen Spektrums, Charakterisierung des
wesentlichen Spektrums und der Satz von Persson, Schrödingeroperatoren in elektrischen
und magnetischen Feldern, Positivitätserhaltung und nichtentarteter Grundzustand,
Diracoperatoren.
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| Literatur |
- Reed/Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, vol.I, II, IV,
Academic Press
- B. Davies: Spectral Theory and Differential Operators,
Cambridge University Press
- B. Helffer: A course in spectral theory (unpublished, his homepage)
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| Voraussetzungen | Funktionalanalysis I |
| Zielgruppe | BA-M/P, MA-M/P, MA-LG |
| Leistungsnachweis | Klausur |
| Übungsleiter | N.N. |
| Übungen | 2h |
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| V+Ü | Relativitätstheorie |
Prof. Bär | 261, A710, A750, 721, 751, 752, 771, 772, 781, 81j |
| Umfang | 2h |
| Inhalt |
Im ersten Teil dieser Einführung in die Relativitätstheorie werden wir uns mit spezieller Relativitätstheorie befassen. Die relativistische Raumzeit wird mittels Minkowski-Geometrie beschrieben. Berühmte relativistische Effekte wie Längenkontraktion, Zeitdilatation, Zwillingsparadoxon usw. werden besprochen. Vorkenntnisse über Minkowski-Geometrie und hyperbolische Geometrie, wie sie etwa in der Vorlesung über Elementargeometrie vermittelt werden, sind nützlich, aber nicht unbedingt erforderlich.
Für den zweiten Teil der Vorlesung, in dem die allgemeine Relativitätstheorie eingeführt wird, sind Kenntnisse in Differentialgeometrie vonnöten. Diese können zeitgleich in der Vorlesung über Differentialgeometrie erworben werden. Nach einer Einführung in die Grundprinzipien werden wir anhand konkreter Modelle bekannte Effekte diskutieren: Urknall, Expansion des Universums, schwarze Löcher, Periheldrehung des Merkur, Lichtablenkung an der Sonne usw.
Besondere Vorkenntnisse über Physik sind nicht erforderlich.
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| Voraussetzungen | Analysis I+II |
| Zielgruppe | MA-M, MA-P, MA-LG, DM, DP |
| Leistungsnachweis | |
| Übungsleiter | N.N. |
| Übungen | 1h |
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| V+Ü | Einführung in die Geometrische Maßtheorie |
Prof. Menne | 752, 721, A710, A750, 771, 772, 781, 82j |
| Umfang | 2h |
| Inhalt | Um Existenz für geometrische Variationsprobleme zu beweisen, erweist
es sich als nützlich, rektifizierbare Mengen zu betrachten, welche
den Begriff der Untermannigfaltigkeiten verallgemeinern. In dieser
Veranstaltung sollen einige grundlegende Eigenschaften
rektifizierbarer Mengen behandelt werden. Insbesondere werden die
Begriffe Oberflächen-Maß, Tangentialraum und relatives
Differential durch die allgemeineren Konzepte Hausdorff-Maß,
approximativer Tangentialkegel und approximatives Differential
ersetzt. Diese Lehrveranstaltung kann als Teil der
aufgeführten Module besucht werden. Zur vollständigen Absolvierung
dieser Module müssen insgesamt Lehrveranstaltungen im Umfang von 6
SWS belegt werden.
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| Literatur | Es wird ein Skript zur Vorlesung erstellt werden. Als Hintergrund
dienen:
-
Lawrence C. Evans and Ronald F. Gariepy.
Measure theory and fine properties of functions.
Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1992.
-
Herbert Federer.
Geometric measure theory.
Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153.
Springer-Verlag New York Inc., New York, 1969.
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| Voraussetzungen | Aufbaumodul Analysis 1 |
| Zielgruppe | MA-LG, BA-M, MA-M, DM |
| Leistungsnachweis | Übungsaufgaben und mündliche Prüfung |
| Übungsleiter | Christian Scharrer |
| Übungen | 1h |
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| V+Ü | Wavelet-Kurs |
Prof. Holschneider | 721, 752, 771, 772, A710, A750 |
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| V+Ü | Prolegomenon zu Renormierungsmethoden |
Prof. Paycha | 721, 752, A710, A750, 771, 772, 781, 82j |
| Umfang | 4h |
| Inhalt | Es werden mathematische Aspekte der von der Physik übertragenen Renormierungsmethoden vorgeführt, mit Anwendungen in der Mathematik. Insbesondere, werden sie zur Aufzählung ganzzahliger Punkte eines Kegels, zur Verallgemeinerung der Euler-Maclaurinformel auf Kegeln und zur Renormierung von Multizetafunktionen an Polen angewandt. An Hand solcher Beispiele aus
verschiedenen Gebieten der Mathematik wird die Vielfältigkeit der Renormierungsfragestellung nur in ihren Prämissen gezeigt. Diese Vorlesung dient also als bescheidenes Prolegomenon zu der sonst sehr breiten und komplexen Problematik der Renormierung. Folgende Themen werden behandelt:
Gaußsche Mass und der Satz von Wick, Feynman Integrale als Integrale mit affinen Bedingungen,
Birkhoff-Hopf Faktorisierung, Renormierte Multizetawerte, Renormierte Summen und Integrale auf
Kegeln, Die Euler-Maclaurin Formel auf Kegeln, Renormierte Integrale mit linearen Bedingungen
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| Literatur |
- A. Barvinok, Integer points in polyhedra, Zürich Lectures in Advances Mathematics, EMS (2008)
- R. Bertlmann, Anomalies in quantum field theory, International Series of Monographs on Physics, Oxford Science Publications 2000
- P. Cartier, An introduction to zeta functions, in "From number theory to physics", ed. M. Waldschmidt et al. 1992
- J. Collins, An Introduction to Renormalization,
Cambridge Monographs on Mathematical Physics, 1986
- J. Glimm, A. Jaffe, Quantum Physics, A functional integral point of view, Springer Verlag, "nd Edition 1987
- G. Hardy, Divergent series, Oxford University Press, 1967
- D. Manchon, Hopf algebras, from basics to applications to
renormalization, Comptes-rendus des Rencontres mathématiques de Glanon 2001 (2003);
Hopf algebras in renormalisation, Handbook of algebra, Vol. 5 (M. Hazewinkel ed.) (2008)
- G. Ziegler, Lectures on polytopes, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, 2nd edition 1994
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| Voraussetzungen | Komplexe Analysis, Integrationstheorie |
| Zielgruppe | MA-M, MA-LG |
| Leistungsnachweis | Klausur |
| Übungsleiter | N.N. |
| Übungen | 2h |
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| V+Ü | Prolegomenon to renormalisation methods |
Prof. Paycha | 721, 752, A710, A750, 771, 772, 781, 82j |
| Umfang | 4h |
| Inhalt | We shall present mathematical aspects of renormalisation methods borrowed from physics, with applications in mathematics. In particular, they will be used to count integer points on cones, to extend the Euler-Maclaurin formula to cones and to renormalise multizeta functions at poles. On the grounds of such examples borrowed from various areas of mathematics, we will get a sense of the manifold of questions related to renormalisation, yet touching on this issue only in its most elementary aspects. This serves as a modest prolegomenon to the otherwise broad and complex renormalisation issue. The following topics will be covered:
Gaussian measure and Wick's theorem, Feynman Integrals seen as Integrals with affine constraints, Birkhoff-Hopf factorisation, Renormalised multizetavalues, Renormalised sums and integrals on cones,
Die Euler-Maclaurin formula on cones, Renormalised Integrals mit linear constraints
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| Literatur |
- A. Barvinok, Integer points in polyhedra, Zürich Lectures in Advances Mathematics, EMS (2008)
- R. Bertlmann, Anomalies in quantum field theory, International Series of Monographs on Physics, Oxford Science Publications 2000
- P. Cartier, An introduction to zeta functions, in "From number theory to physics", ed. M. Waldschmidt et al. 1992
- J. Collins, An Introduction to Renormalization,
Cambridge Monographs on Mathematical Physics, 1986
- J. Glimm, A. Jaffe, Quantum Physics, A functional integral point of view, Springer Verlag, "nd Edition 1987
- G. Hardy, Divergent series, Oxford University Press, 1967
- D. Manchon, Hopf algebras, from basics to applications to
renormalization, Comptes-rendus des Rencontres mathématiques de Glanon 2001 (2003);
Hopf algebras in renormalisation, Handbook of algebra, Vol. 5 (M. Hazewinkel ed.) (2008)
- G. Ziegler, Lectures on polytopes, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, 2nd edition 1994
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| Voraussetzungen | Komplexe Analysis, Integrationstheorie |
| Zielgruppe | MA-M, MA-LG |
| Leistungsnachweis | Klausur |
| Übungsleiter | N.N. |
| Übungen | 2h |
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| V | Statistische Datenanalyse |
Prof. Blanchard | 771, 772, 781, 835, A710, A750, 721, 752 |
| Umfang | 4h |
| Inhalt | Als zentrale Fragestellung dieser Vorlesung stehen die statistische Studie und quantitative Analyse der
Abhängigkeit zwischen beobachteten zufälligen Größen
(beispielsweise Ausbeute/Einstellungsgrößen Produktion; Lebensdauer/Behandlungsart und Verletzungsart).
Wesentliche Grundlagen für die statistische Behandlung derartiger Zusammenhänge liefert das lineare
Regressionsmodell, das im ersten Teil der Vorlesung
ausführlich studiert wird. In diesem Rahmen werden die Fragestellungen des Schätzens, Testens, und der
Unsicherheitsquantifizierung (Varianzanalyse) behandelt. Im zweiten Teil wird eine Einleitung zu fortgeschrittenen Methoden und Ansätzen zur Untersuchung von Beziehungen angeboten. Dazu gehören nichtlineare
und nichtparametrische Regressionsmodelle. Darüber hinaus werden Fragen der Klassifikation und Dimensionsreduktion
behandelt.
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| Voraussetzungen | Statistik |
| Zielgruppe | BA-M, MA-M, MA-LG, DM |
| Leistungsnachweis | Klausur |
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| V | Operator semigroups |
Dr. Levy | 721, 751, 752, 781, 82j, A510, A710, A750 |
| Umfang | 2h |
| Inhalt | Linear evolution equations, and associated operator semigroups,
arise in many scientific disciplines. To name a few:
- Quantum mechanics (Schrödinger equation)
- Statistical mechanics (linear Boltzmann transport equation)
- Quantum statistical mechanics
- Heat conduction theory
- Control theory
- Feller-Markov processes (e.g. the Brownian process)
- Population growth models
Such a versatility shows the usefulness as well as the unifying nature of the notion of operator semigroup.
The goal of this course is to describe some classical examples of semigroups. We will start with the basics of operator theory (no
previous knowledge of linear operators is required).
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| URL | http://users.math.uni-potsdam.de/~levy/ |
| Voraussetzungen | Analysis I und II |
| Zielgruppe | BA-LG, MA-LG, BA-M/P, MA-M/P |
| Leistungsnachweis | Klausur |
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| V+Ü | Geometry of the Standard Model: The Fermions |
Dr. Stephan | A710, A750, 81j |
| Umfang | 2h |
| Inhalt |
This lecture aims to give an introduction into the geometric aspects of the Standard Model of Particle Physics with particular focus on fermions.
We will develop the necessary geometric background:
Lorentzian spin-manifolds, associated twisted spinor bundles and (twisted) Dirac operators.
\noindent
The physical action functional will then be explained in terms of these geometric objects.
Special emphasis will be given to the mathematical structure of this functional. Furthermore we shall discuss the equations
of motion (obtained by variational principles) and the resulting physical phenomena such as mass mechanisms by spontaneous
symmetry breaking. If time permits we will outline Connes' spectral approach to the bosonic action based on the Dirac spectrum.
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| Literatur |
- D. Bleecker: Gauge Theory and Variational Principles, Dover Publications, INC. Mineola New York, USA, 1981
- A. Derzinski: Geometry of the Standard Model of Elementary Particles, Springer-Verlag, Berlin, 1992
- Y. Choquet-Bruhat, C. DeWitt-Morette: Analysis, Manifolds and Physics, Part II, North-Holland, 2nd edition, 2000
- C. Burgess, G. Moore: The Standard Model: A Primer, Cambridge University Press, 2007
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| Voraussetzungen | Differential geometry, Lie groups |
| Zielgruppe | MA-M, MA-P, MA-LG, DM, DP |
| Übungsleiter | Dr. Stephan |
| Übungen | 1h |
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| V | Indextheorie |
apl. Prof. Tarkhanov | 82j |
| Umfang | 4h |
| Inhalt | Der Atiyah-Singer-Indexsatz ist die zentrale Aussage aus der globalen Analysis, einem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie.
Er besagt, dass für einen elliptischen Differentialoperator auf einer kompakten abgeschlossenen Mannigfaltigkeit der analytische Index (eng verbunden mit der Dimension des Lösungsraumes) gleich dem topologischen Index (über topologische Invarianten definiert) ist.
Viele andere wichtige Sätze wie der Satz von Riemann-Roch oder der Satz von Gauß-Bonnet sind Spezialfälle.
Der Satz hat auch Anwendungen in der theoretischen Physik.
Er wurde 1963 von Michael Atiyah und Isadore M. Singer bewiesen.
Sie erhielten dafür den Abelpreis 2004.
Ziel der Vorlesung ist es, einen Beweis sowie Anwendungen des Atiyah-Singer-Indexsatzes für elliptische Operatoren auf kompakten abgeschlossenen Mannigfaltigkeiten vorzustellen.
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| Literatur |
- Wells, R. O., Differential Analysis on Complex Manifolds, Springer, 1986.
- Fedosov, B., Index Theory and Deformation Quantizatiom, Akademie Verlag,
Berlin, 1996.
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| Voraussetzungen | Fundierte Kenntnisse in Analysis und Geometrie |
| Zielgruppe | MA-M, MA-P, Doktoranden |
| Leistungsnachweis | Klausur |
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| V+Ü | Introduction to Physiologically Based Pharmacokinetic Modeling |
Prof. Huisinga | 84j |
| Umfang | One week block course (30h total) |
| Inhalt | The course introduces physiologically based pharmacokinetic concepts and modeling approaches with relevance to and application in drug discovery and development. We focus on mathematical models of the key ADME processes adsorption, distribution, metabolism and excretion, including ionization and (linear/saturable) protein binding, first-order and transit compartment models of absorption, a priori prediction of tissue-to-blood partition coefficients, hepatic metabolism and billary excretion. Further, the course establishes the link between detailed physiologically based pharmacokinetic models and simple 1-/2-compartment models commonly used in late stage clinical phases via mathematical model reduction techniques (lumping appraoch). Finally, we introduce concepts of variability in physiological and anatomical parameters, extrapolation techniques to different species as well as from adults to children, and consider models of drug-drug interaction.
The course also includes a guest lecture illustrating the application of physiologically based pharmacokinetic modeling in the pharmaceutical industry.
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| Literatur | Will be announced at the beginning of the course
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| URL | http://www.pharmacometrics.de |
| Voraussetzungen | Application to the graduate research training program PharMetrX: Pharmacometrics & Computational Disease Modeling
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| Zielgruppe | MA-M, PhD |
| Leistungsnachweis | Active participation |
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