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\newcommand{\D}{\displaystyle}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\newcommand{\nach}{{\rightarrow}}
\newcommand{\Nach}{{\,\rightarrow\,}}
\newcommand{\Fou}{{\mathcal{F}}}
\newcommand{\sk}{{\,|\,}}

\def\be{\begin{eqnarray*}}
\def\ee{\end{eqnarray*}}
\def\bel{\begin{eqnarray}}
\def\eel{\end{eqnarray}}

\def\ex{\exists}
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\def\a{\alpha}
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\def\A{\mathcal{A}}
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\def\eqiv{\Longleftrightarrow}
\def\lra{\longrightarrow}
\newcommand{\ab}[1]{\left( #1\right)}


%\newcommand{\cosh}{\mbox{cosh}}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{remarks}[theorem]{Remarks}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\begin{document}

\rule{\textwidth}{0.3pt}
\begin{center}
\textbf{\large Mathematik für Wirtschaftsinformatik}
\end{center}
\textbf{Wintersemester 2015/2016\hfill Prof. Dr. M. Keller}

\rule{\textwidth}{0.3pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Hier geht's los
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Blatt 4}\hfill % Nr des Blatts
\textbf{Abgabe 19.11.2015}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{itemize}
\item[(1)]
Seien $X$ und $Y$ Mengen und $f:X\to Y$ eine Abbildung. Zeigen Sie, dass für die Urbilder der Mengen $A,B\subseteq Y$ gilt:
\begin{align*}
 &(a) ~f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)\\
 &(b) ~f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)\\
 &(c) ~f^{-1}(A\setminus B)=f^{-1}(A)\setminus f^{-1}(B)
\end{align*}

%\end{itemize}
%Für $(m,n)\in\N\times\N$ bezeichne von nun an $[(m,n)]$ die
%Äquivalenzklasse der Äquivalenzrelation aus (2).
%\begin{itemize}


%\item[(3)]  Zeigen Sie, dass
%die durch
%\begin{align*}
%&[(k,l)]+[(m,n)]=[(k\cdot n+l\cdot m,l\cdot n)]\quad\mbox{und}\\
%&[(k,l)]\cdot[(m,n)]=[(k\cdot m,l\cdot n)]
%\end{align*}
%definierte Addition und Multiplikation wohldefiniert sind, d.h.
%nicht von der Wahl der Repräsentanten abhängen.


%\item[(3)] Sei $K=\{[(m,n)]\mid (m,n)\in\N \times \N\}$. Zeigen Sie,
%dass $(K,\cdot)$ eine Gruppe ist.



\item[(2)] Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität, Bijektivität und geben Sie gegebenenfalls eine Umkehrabbildung an:
\begin{itemize}
 \item [(a)] $f: \Z_k\to\Z_k, n \operatorname{mod} k\mapsto (n+1) \operatorname{mod} k,$ wobei $k\in\IN$ beliebig.\\ Hinweis: In der Vorlesung 
 wurde gezeigt, dass Addition Modulo $k$ wohldefiniert ist. Dies müssen Sie also nicht noch einmal zeigen.
 \item[(b)] $g: \IN\to\IN, n\mapsto n+1$.
\end{itemize}

\item[(3)] 
Sei  $M:=\{z^2\mid z\in\IN\}$ die Menge der Quadratzahlen. Es seien die folgenden Abbildungen gegeben:
\begin{align*}
 &f:\IN\to M, n\mapsto n^2\\
 &g: M\to \IN, n\mapsto \sqrt{n}
\end{align*}
Bestimmen Sie, falls möglich, die Abbildungen $f\circ g$ und $g\circ f$ und entscheiden Sie, ob beide Abbildungen gleich sind.
\item[(4)]
Es sei $X:=\{1,2,3,4,5\}$ und $Y:=\{6,7,8,9,10\}$. Weiterhin seien die Abbildungen 
\begin{align*}
 &f:X\to Y, x\mapsto 11-x,\\
 &g:X\to Y, x\mapsto \begin{cases}
                      6,& x\leq 2\\
                      10,& x\geq3\\
                     \end{cases},\\
 &h:Y\to X, y\mapsto 11-y,
\end{align*}
gegeben. \newpage
\begin{itemize}
 \item [(a)]
 Untersuchen Sie $f,g,h$ auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
 \item[(b)]
 Entscheiden (und begründen) Sie, ob die Abbildungen $h\circ f$, $h\circ g$, $f\circ h$ und $g\circ h$ existieren und geben Sie sie gegebenenfalls an.   
\end{itemize}

\end{itemize}
\textbf{Zusatzaufgaben}
\begin{itemize}
 \item [(Z1)] Seien $A$ und $B$ endliche Mengen mit gleich vielen Elementen. Weiterhin sei $f:A\to B$ eine Abbildung. 
 Zeigen Sie, dass in diesem Fall die Äquivalenz 
 \[f\text{ injektiv}\Leftrightarrow f\text{ surjektiv}\]
 gilt.
 \item[(Z2)] Seien $A$ und $B$ endliche Mengen. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
 \begin{itemize}
  \item [(i)] Es existiert eine bijektive Abbildung $f:A\to B$.
  \item[(ii)] $A$ und $B$ haben gleich viele Elemente.
 \end{itemize}
Tipp: Zeigen Sie zuerst die folgenden Aussagen: \begin{itemize}
\item[(a)] Wenn es eine injektive Abbildung von $A$ nach $B$ gibt, so ist die Anzahl der Elemente von $A$ kleiner 
gleich der Anzahl der Elemente von $B$ und umgekehrt. 
\item[(b)] Wenn  es eine surjektive Abbildung von $A$ nach $B$ gibt, so ist die Anzahl der Elemente von $A$ größer 
gleich der Anzahl der Elemente von $B$ und umgekehrt.
\end{itemize}

\end{itemize}

 

\end{document}
