%\documentclass[12pt,a4paper, german]{article}
%\usepackage{a4kopka}
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{ngerman}
%\usepackage{fleqn}
\usepackage{array}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
%\usepackage{mathbbol}
\usepackage{amstext}
%\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage{relsize}
%\usepackage{epic}
\usepackage{graphics}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{a4wide}
\usepackage{makeidx}\usepackage{german}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{ulem}


\newcommand{\D}{\displaystyle}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\IR}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\IN}{{\mathbb{N}}}
\newcommand{\IZ}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\IF}{{\mathbb{F}}}
\newcommand{\IK}{{\mathbb{K}}}
\newcommand{\IQ}{{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\IC}{{\mathbb{C}}}
\newcommand{\IP}{{\mathbb{P}}}
\newcommand{\IE}{{\mathbb{E}}}

\newcommand{\ep}{{\varepsilon}}
\newcommand{\ph}{{\varphi}}
\newcommand{\thet}{{\vartheta}}
\newcommand{\rh}{{\varrho}}
\newcommand{\de}{{\delta}}
\newcommand{\la}{{(}}
\newcommand{\ra}{{)}}
\newcommand{\Om}{{\Omega}}
\newcommand{\al}{{\alpha}}
\newcommand{\be}{{\beta}}
\newcommand{\ga}{{\gamma}}
\newcommand{\gwh}{{\widehat{\gamma}}}
\newcommand{\om}{{\omega}}
\newcommand{\La}{{\Lambda}}
\newcommand{\Ga}{{\Gamma}}
\newcommand{\De}{{\Delta}}
\newcommand{\wh}{{\widehat}}

\newcommand{\foh}{{\mathfrak{h}}}

\newcommand{\nach}{{\rightarrow}}
\newcommand{\Nach}{{\,\rightarrow\,}}
\newcommand{\Fou}{{\mathcal{F}}}
\newcommand{\sk}{{\,|\,}}

\def\be{\begin{eqnarray*}}
\def\ee{\end{eqnarray*}}
\def\bel{\begin{eqnarray}}
\def\eel{\end{eqnarray}}

\def\ex{\exists}
\def\all{\forall}

\def\a{\alpha}
\def\eh{\frac{1}{2}}
\def\A{\mathcal{A}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\N{\mathbb{N}}\def\NN{\mathbb{N}}
\def\E{\mathbb{E}}
\def\P{\mathbb{P}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def\B{\mathcal{B}}
\def\F{\mathcal{F}}
\def\S{\mathcal{S}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\O{\mathcal{O}}
\def\e{\epsilon}
\def\ep{\tilde{\delta}}
\def\d{\delta}
\def\lm{\lambda}
\def\id{\mathbb{I}}
\def\Sp{\textrm{Sp}}
\def\lili{\lim\limits}
\def\nn{\nonumber}
\def\fa{\bigwedge\limits}
\def\one{1}
\def\chiop{\chi_{\{\delta>L\}}}
\def\eqiv{\Longleftrightarrow}
\def\lra{\longrightarrow}
\newcommand{\ab}[1]{\left( #1\right)}


%\newcommand{\cosh}{\mbox{cosh}}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{remarks}[theorem]{Remarks}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\addtolength{\voffset}{-15pt} \addtolength{\textheight}{-10pt}
%\addtolength{\textheight}{-11pt} \addtolength{\headsep}{6pt}

\setlength{\parskip}{10pt plus 2pt minus 1pt}
\setlength{\parindent}{0pt}
\newcommand{\wk}{\mbox{$\,<$\hspace{-5pt}\footnotesize )$\,$}}
\thispagestyle{empty} \addtolength{\voffset}{15pt}

\setlength{\textheight}{10in}

\begin{document}

\rule{\textwidth}{0.3pt}
\begin{center}
\textbf{\large Mathematik für Wirtschaftsinformatik}
\end{center}
\textbf{Wintersemester 2015/2016\hfill Prof. Dr. M. Keller}

\rule{\textwidth}{0.3pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Hier geht's los
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Blatt 4}\hfill % Nr des Blatts
\textbf{Abgabe 19.11.2015}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{itemize}
\item[(1)]
Seien $X$ und $Y$ Mengen und $f:X\to Y$ eine Abbildung. Zeigen Sie, dass für die Urbilder der Mengen $A,B\subseteq Y$ gilt:
\begin{align*}
 &(a) ~f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)\\
 &(b) ~f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)\\
 &(c) ~f^{-1}(A\setminus B)=f^{-1}(A)\setminus f^{-1}(B)
\end{align*}

%\end{itemize}
%Für $(m,n)\in\N\times\N$ bezeichne von nun an $[(m,n)]$ die
%Äquivalenzklasse der Äquivalenzrelation aus (2).
%\begin{itemize}


%\item[(3)]  Zeigen Sie, dass
%die durch
%\begin{align*}
%&[(k,l)]+[(m,n)]=[(k\cdot n+l\cdot m,l\cdot n)]\quad\mbox{und}\\
%&[(k,l)]\cdot[(m,n)]=[(k\cdot m,l\cdot n)]
%\end{align*}
%definierte Addition und Multiplikation wohldefiniert sind, d.h.
%nicht von der Wahl der Repräsentanten abhängen.


%\item[(3)] Sei $K=\{[(m,n)]\mid (m,n)\in\N \times \N\}$. Zeigen Sie,
%dass $(K,\cdot)$ eine Gruppe ist.



\item[(2)] Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität, Bijektivität und geben Sie gegebenenfalls eine Umkehrabbildung an:
\begin{itemize}
 \item [(a)] $f: \Z_k\to\Z_k, n \operatorname{mod} k\mapsto (n+1) \operatorname{mod} k,$ wobei $k\in\IN$ beliebig.\\ Hinweis: In der Vorlesung 
 wurde gezeigt, dass Addition Modulo $k$ wohldefiniert ist. Dies müssen Sie also nicht noch einmal zeigen.
 \item[(b)] $g: \IN\to\IN, n\mapsto n+1$.
\end{itemize}

\item[(3)] 
Sei  $M:=\{z^2\mid z\in\IN\}$ die Menge der Quadratzahlen. Es seien die folgenden Abbildungen gegeben:
\begin{align*}
 &f:\IN\to M, n\mapsto n^2\\
 &g: M\to \IN, n\mapsto \sqrt{n}
\end{align*}
Bestimmen Sie, falls möglich, die Abbildungen $f\circ g$ und $g\circ f$ und entscheiden Sie, ob beide Abbildungen gleich sind.
\item[(4)]
Es sei $X:=\{1,2,3,4,5\}$ und $Y:=\{6,7,8,9,10\}$. Weiterhin seien die Abbildungen 
\begin{align*}
 &f:X\to Y, x\mapsto 11-x,\\
 &g:X\to Y, x\mapsto \begin{cases}
                      6,& x\leq 2\\
                      10,& x\geq3\\
                     \end{cases},\\
 &h:Y\to X, y\mapsto 11-y,
\end{align*}
gegeben. \newpage
\begin{itemize}
 \item [(a)]
 Untersuchen Sie $f,g,h$ auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
 \item[(b)]
 Entscheiden (und begründen) Sie, ob die Abbildungen $h\circ f$, $h\circ g$, $f\circ h$ und $g\circ h$ existieren und geben Sie sie gegebenenfalls an.   
\end{itemize}

\end{itemize}
\textbf{Zusatzaufgaben}
\begin{itemize}
 \item [(Z1)] Seien $A$ und $B$ endliche Mengen mit gleich vielen Elementen. Weiterhin sei $f:A\to B$ eine Abbildung. 
 Zeigen Sie, dass in diesem Fall die Äquivalenz 
 \[f\text{ injektiv}\Leftrightarrow f\text{ surjektiv}\]
 gilt.
 \item[(Z2)] Seien $A$ und $B$ endliche Mengen. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
 \begin{itemize}
  \item [(i)] Es existiert eine bijektive Abbildung $f:A\to B$.
  \item[(ii)] $A$ und $B$ haben gleich viele Elemente.
 \end{itemize}
Tipp: Zeigen Sie zuerst die folgenden Aussagen: \begin{itemize}
\item[(a)] Wenn es eine injektive Abbildung von $A$ nach $B$ gibt, so ist die Anzahl der Elemente von $A$ kleiner 
gleich der Anzahl der Elemente von $B$ und umgekehrt. 
\item[(b)] Wenn  es eine surjektive Abbildung von $A$ nach $B$ gibt, so ist die Anzahl der Elemente von $A$ größer 
gleich der Anzahl der Elemente von $B$ und umgekehrt.
\end{itemize}

\end{itemize}

 

\end{document}