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\newcommand{\D}{\displaystyle}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\newcommand{\Nach}{{\,\rightarrow\,}}
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\newcommand{\sk}{{\,|\,}}

\def\be{\begin{eqnarray*}}
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\def\bel{\begin{eqnarray}}
\def\eel{\end{eqnarray}}

\def\ex{\exists}
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\def\eqiv{\Longleftrightarrow}
\def\lra{\longrightarrow}
\newcommand{\ab}[1]{\left( #1\right)}


%\newcommand{\cosh}{\mbox{cosh}}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{remarks}[theorem]{Remarks}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\begin{document}

\rule{\textwidth}{0.3pt}
\begin{center}
\textbf{\large Mathematik für Wirtschaftsinformatik}
\end{center}
\textbf{Wintersemester 2015/2016\hfill Prof. Dr. M. Keller}

\rule{\textwidth}{0.3pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Hier geht's los
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Blatt 3}\hfill % Nr des Blatts
\textbf{Abgabe 12.11.2015}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{itemize}
\item[(1)]
\begin{itemize}
  \item[(a)] Zeigen Sie, dass $(\N,\leq )$ eine total geordnete Menge ist.

  \item[(b)] Zeigen Sie, dass $(\mathcal{P}(\N),\subseteq)$ eine
  geordnete, aber keine total geordnete Menge ist.
\end{itemize}
\item[(2)] Sei auf $\N\times\N$ die Relation
\begin{align*}
    (k,l)\sim (m,n)\quad:\Longleftrightarrow \quad k\cdot n=l\cdot m
\end{align*}
gegeben. Zeigen Sie, dass es sich um eine Äquivalenzrelation
handelt.
%\end{itemize}
%Für $(m,n)\in\N\times\N$ bezeichne von nun an $[(m,n)]$ die
%Äquivalenzklasse der Äquivalenzrelation aus (2).
%\begin{itemize}


%\item[(3)]  Zeigen Sie, dass
%die durch
%\begin{align*}
%&[(k,l)]+[(m,n)]=[(k\cdot n+l\cdot m,l\cdot n)]\quad\mbox{und}\\
%&[(k,l)]\cdot[(m,n)]=[(k\cdot m,l\cdot n)]
%\end{align*}
%definierte Addition und Multiplikation wohldefiniert sind, d.h.
%nicht von der Wahl der Repräsentanten abhängen.


%\item[(3)] Sei $K=\{[(m,n)]\mid (m,n)\in\N \times \N\}$. Zeigen Sie,
%dass $(K,\cdot)$ eine Gruppe ist.



\item[(3)] Für $(m,n)\in\N\times\N$ bezeichne $[(m,n)]$ die
Äquivalenzklasse der Äquivalenzrelation aus (2). Zeigen Sie, dass
die auf den Äquivalenzklassen definierte Relation
\begin{align*}
    [(k,l)]\leq[(m,n)] \quad:\Longleftrightarrow \quad k\cdot n\leq l\cdot m
\end{align*}
wohldefiniert ist und es sich um eine Ordnungsrelation handelt.

\item[(4)] Seien $X=\{1,2,3,4,5,6\}$ und $Y=\{1,2,\ldots,41, 42\}$. Ferner sei eine Funktion $f\colon X\to Y$ gegeben durch
\[f(x)=\begin{cases} 2x, &x\text{ gerade}\\
        3x+3, &x\text{ ungerade}
       \end{cases}
.\]
\begin{itemize}
 \item [(a)] Bestimmen Sie \[f(\{3,6\})\cup f(\{3\})\] und \[f^{-1}(\{y\in Y\mid y\leq 17\})\setminus f^{-1}(\{2,6\}).\]
 \item [(b)] Finden Sie zwei Mengen $A,B\subseteq X$, sodass gilt \[f(A)\cap f(B)\not=f(A\cap B).\]
\end{itemize}


\end{itemize}
\end{document}