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\newcommand{\D}{\displaystyle}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\newcommand{\nach}{{\rightarrow}}
\newcommand{\Nach}{{\,\rightarrow\,}}
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\newcommand{\sk}{{\,|\,}}

\def\be{\begin{eqnarray*}}
\def\ee{\end{eqnarray*}}
\def\bel{\begin{eqnarray}}
\def\eel{\end{eqnarray}}

\def\ex{\exists}
\def\all{\forall}

\def\a{\alpha}
\def\eh{\frac{1}{2}}
\def\A{\mathcal{A}}
\def\R{\mathbb{R}}
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\def\e{\epsilon}
\def\ep{\tilde{\delta}}
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\def\lm{\lambda}
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\def\lili{\lim\limits}
\def\nn{\nonumber}
\def\fa{\bigwedge\limits}
\def\one{1}
\def\chiop{\chi_{\{\delta>L\}}}
\def\eqiv{\Longleftrightarrow}
\def\lra{\longrightarrow}
\newcommand{\ab}[1]{\left( #1\right)}


%\newcommand{\cosh}{\mbox{cosh}}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{remarks}[theorem]{Remarks}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\begin{document}

\rule{\textwidth}{0.3pt}
\begin{center}
\textbf{\large Mathematik für Wirtschaftsinformatik}
\end{center}
\textbf{Wintersemester 2015/2016\hfill Prof. Dr. M. Keller}

\rule{\textwidth}{0.3pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Hier geht's los
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Blatt 2 }\hfill % Nr des Blatts
\textbf{Abgabe 5.11.2015}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{itemize}

\item[(1)] Zeigen Sie: Ist $A$ eine Menge, $X_\alpha$, $\alpha\in A$, eine Familie von Mengen und $X$ eine
Menge, so gilt
$$ X\setminus \left(\bigcap_{\alpha \in A} X_\alpha\right) = \bigcup_{\alpha \in A} (X\setminus X_\alpha).$$

\item[(2)]
Es sei $A:=\{1,2,5,21,42\}$ und $B:=\IN\setminus A$. Geben Sie eine Äquivalenzrelation auf $\IN$ an, die $A$ und $B$ als 
 Äquivalenzklassen hat.
%\begin{itemize}
%  \item[a)] Zeigen Sie, dass $(\N,\ge )$ eine total geordnete Menge ist.

 % \item[b)] Zeigen Sie, dass $(\mathcal{P}(\N),\supseteq)$ eine
 % geordnete, aber keine total geordnete Menge ist.
%\end{itemize}
\item[(3)] Auf $\N$ sei folgende Relation gegeben:
\begin{align*}
    n\sim m \quad:\Longleftrightarrow \mbox{$n$ und $m$ haben einen gemeinsamen
    Teiler verschieden von $1$}.
\end{align*}
Untersuchen Sie diese Relation auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.

\item[(4)] 
Auf $\N\setminus\{1\}$ sei folgende Relation gegeben:
\begin{align*}
    n\sim m \quad:\Longleftrightarrow &\mbox{Der kleinste Teiler von $n$ der größer als $1$ ist und 
    der kleinste}\\&\mbox{Teiler von $m$ der größer als $1$ ist stimmen überein}.
\end{align*}
Überprüfen Sie, ob es sich hierbei um eine Äquivalenzrelation handelt und geben Sie gegebenenfalls die Äquivalenzklassen an.
%Seien $X$ und $Y$ Mengen und $f:X\to Y$ eine Abbildung.
%Zeigen Sie, dass für die Urbilder der Mengen $A,B\subseteq Y$ gilt
%\begin{align*}
%f^{-1}(A\cup B)&= f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)\\
%f^{-1}(A\cap B)&=f^{-1}(A)\cap f^{-1 }(B) \\
%f^{-1}(A\setminus B)&=f^{-1}(A)\setminus  f^{-1 }(B)
%\end{align*}

\end{itemize}

\end{document}