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\newcommand{\D}{\displaystyle}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\newcommand{\ep}{{\varepsilon}}
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\newcommand{\ra}{{)}}
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\newcommand{\nach}{{\rightarrow}}
\newcommand{\Nach}{{\,\rightarrow\,}}
\newcommand{\Fou}{{\mathcal{F}}}
\newcommand{\sk}{{\,|\,}}

\def\be{\begin{eqnarray*}}
\def\ee{\end{eqnarray*}}
\def\bel{\begin{eqnarray}}
\def\eel{\end{eqnarray}}

\def\ex{\exists}
\def\all{\forall}

\def\a{\alpha}
\def\eh{\frac{1}{2}}
\def\A{\mathcal{A}}
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\def\one{1}
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\def\eqiv{\Longleftrightarrow}
\def\lra{\longrightarrow}
\newcommand{\ab}[1]{\left( #1\right)}


%\newcommand{\cosh}{\mbox{cosh}}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{remarks}[theorem]{Remarks}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\begin{document}

\rule{\textwidth}{0.3pt}
\begin{center}
\textbf{\large Analysis auf Graphen}
\end{center}
\textbf{Wintersemester 2015/2016\hfill Prof. Dr. M. Keller}

\rule{\textwidth}{0.3pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Hier geht's los
%
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\textbf{Blatt 5}\hfill % Nr des Blatts
\textbf{Abgabe 24.11.2015}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{itemize}


\item[(1)]
Sei $L$ ein selbstadjungierter Operator auf $\ell^{2}(X,m)$ für
einen endlichen Maßraum $(X,m)$ mit positivitätserhaltender
 Halbgruppe $e^{-tL}$ und Form $Q$. Zeigen Sie
die Äquivalenz folgender Aussagen:
\begin{itemize}
  \item [(i)] $Q(f\wedge 1) \leq Q(f)$ falls $f\geq 0$.
  \item  [(ii)]  $e^{-tL}f\leq 1$
falls $f\leq 1$.
\end{itemize}

\item[(1*)]
Sei $L$ ein selbstadjungierter Operator auf $\ell^{2}(X,m)$ für
einen endlichen Maßraum $(X,m)$ mit
 Halbgruppe $e^{-tL}$. Zeigen Sie
die Äquivalenz folgender Aussagen:
\begin{itemize}
  \item [(i)] $e^{-tL}f\leq e^{-tL}|f|$ für alle $f$.
  \item  [(ii)]  $e^{-tL}$  positivitätserhaltend.
falls $f\leq 1$.
\end{itemize}

\item[(2)] Sei $b$ ein Graph über einem endlichen $X$ und $\#E=\{(x,y)\in
X\times X\mid
  b(x,y)>0\}$. Zeigen Sie folgende
Äquivalenz:
\begin{itemize}
  \item[(i)] $b$ ist zusammenhängend und enthält keinen Kreis.
  \item[(ii)]  Jeweils zwei Vertices sind durch einen eindeutigen Pfad
  verbunden.
  \item[(iii)]  Es gilt $2\#X=\#E+2$ und $b $ ist zusammenhängend.
  \item[(iv)] Jeder Fluss ist induziert durch ein Potential,
  d.h. für jedes antisymmetrische $\ph:E\to\R$ existiert ein $f\in C(X)$ mit
  $\ph(x,y)={b(x,y)}(f(y)-f(x))$.
\end{itemize}
Ein solcher Graph heißt \emph{Baum}.

\item[(3)]
Sei $(b,c)$ ein Graph über einem endlichen $X$ und $Q=Q_{b,c}$ die
dazugehörige Form und
\begin{align*}
    W_{\mbox{\scriptsize eff}} (x,y) :=\sup\{\frac{1}{Q(h)} \mid h\in C(X),  h(x)- h(y) =1\}
\end{align*}
der \emph{effektive Widerstand}. Zeigen Sie, dass gilt
\begin{align*}
W_{\mbox{\scriptsize eff}} (x,y) = \max\{ |f(x) - f(y)|^2 \mid
Q(f)\leq 1\}
\end{align*}
sowie dass
$$\varrho (x,y)  := W_{\mbox{\scriptsize eff}}^{1/2} (x,y)
\;\:\mbox{for $x\neq y$ and}\:\: \varrho (x,y) = 0\;\: \mbox{ for $x
=y$}$$ eine Metrik definiert.






\item[(4)] Sei $b$ ein Baum über einem endlichen $X$ (sh. Aufgabe (2)).
Zeigen Sie, dass für die Metrik $\varrho$ aus Aufgabe (3) gilt
\begin{align*}
    \varrho(x,y)=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{b(x_{i},x_{i+1})}
\end{align*}
wobei $(x_{0},\ldots,x_{n})$ der eindeutige Pfad von $x$ nach $y$
ist.
 \end{itemize}

\end{document}
