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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\def\bel{\begin{eqnarray}}
\def\eel{\end{eqnarray}}

\def\ex{\exists}
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\def\eqiv{\Longleftrightarrow}
\def\lra{\longrightarrow}
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\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{remarks}[theorem]{Remarks}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\begin{document}

\rule{\textwidth}{0.3pt}
\begin{center}
\textbf{\large Analysis auf Graphen}
\end{center}
\textbf{Wintersemester 2015/2016\hfill Prof. Dr. M. Keller}

\rule{\textwidth}{0.3pt}

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%
% Hier geht's los
%
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\textbf{Blatt 4}\hfill % Nr des Blatts
\textbf{Abgabe 17.11.2015}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{itemize}

\item[(1)] Sei $(X,m)$ ein endlicher Maßraum und sein $\|\cdot\|$
die Norm von $\ell^{2}(X,m)$.

\begin{itemize}
  \item [(a)] Zeigen Sie, dass
 \begin{align*}
    \|A\|_{\mathrm{op}}:=\sup\{\|Af\|\mid f\in \ell^{2}(X,m)\mbox{ with }\|f\|=1\}
 \end{align*}
eine Norm auf dem Vektorraum der Operatoren auf  $\ell^{2}(X,m)$
definiert. Wir nennen $\|\cdot\|_{\mathrm{op}}$ die Operatornorm.
\item [(b)] Zeigen Sie $\|AB\|_{\mathrm{op}}\leq\|A\|_{\mathrm{op}}\|B\|_{\mathrm{op}}$
\item [(b)] Sei $(b,c)$ ein Graph über $(X,m)$ und sei $L_{b,c,m}$
der assoziierte Operator. Zeigen Sie
      \begin{align*}
        \|L_{b,c,m}\|_{\mathrm{op}}\leq 2\sup_{x\in X}\mathrm{Deg}(x)
      \end{align*}
      wobei $\mathrm{Deg}(x) = \frac{1}{m(x)} (\sum_y b(x,y) + c(x))$.
\end{itemize}

\item[(2)]Sei $(X,m)$ ein endlicher Maßraum und sei
$L$ ein selbstadjungierter Operator auf $\ell^{2}(X,m)$.

\begin{itemize}
  \item [(a)] Zeigen Sie, dass die Summe
 \begin{align*} e^{-tL}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(-tL)^{n}
 \end{align*}
bezüglich der Operator Norm $\|\cdot\|_{\mathrm{op}}$   für alle
$t\ge0$  absolut konvergiert.
\item [(b)]
Zeigen Sie: Die Funktion $\ph_{t}=e^{-tL}f$ for $f\in \ell^{2}(X,m)$
ist die eindeutige Lösung der Gleichung
      \begin{align*}
        \frac{d}{dt}\ph_{t}=-L\ph_{t},\quad\ph_{0}=f,
      \end{align*}
 für alle $t\ge0$.
\end{itemize}

\item[(3)] Seien $A$ und $B$ Operatoren auf $\ell^2(X,m)$
so dass $AB=BA$. Zeigen Sie
\[ e^{A+B} = e^A e^B. \]

\item[(4)]Sei $(X,m)$ ein endlicher Maßraum und sei
$L$ ein selbstadjungierter Operator auf $\ell^{2}(X,m)$ und sei
$\sigma(L)$ die Menge der Eigenwerte von $L$.  Für  $\lambda \in
\sigma(L)$ sei $E_\lambda$die orthogonale Projektion auf den
Eigenraum von $\lambda$. Zeigen Sie
\begin{itemize}
\item[(a)]  $E_{\lambda} E_{\mu} = 0$ if $\lambda \neq \mu$.
\item[(b)] $\sum_{\lambda \in \sigma(L)} E_\lambda = I$.
\item[(c)] $\sum_{\lambda \in \sigma(L)} \lambda E_\lambda = L$.
\end{itemize}

\end{itemize}

\end{document}
