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\newcommand{\Nach}{{\,\rightarrow\,}}
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\def\be{\begin{eqnarray*}}
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\def\bel{\begin{eqnarray}}
\def\eel{\end{eqnarray}}

\def\ex{\exists}
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\def\lra{\longrightarrow}
\newcommand{\ab}[1]{\left( #1\right)}


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\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{remarks}[theorem]{Remarks}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\begin{document}

\rule{\textwidth}{0.3pt}
\begin{center}
\textbf{\large Analysis auf Graphen}
\end{center}
\textbf{Wintersemester 2015/2016\hfill Prof. Dr. M. Keller}

\rule{\textwidth}{0.3pt}

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% Hier geht's los
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\textbf{Blatt 1 }\hfill % Nr des Blatts
\textbf{Abgabe 20.10.2015}

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\begin{itemize}
\item[(1)] Sei $X=\{1,\ldots,n\}$  und $(b_{n},c_{n})$ der \emph{vollständige Graph} über $X$ mit Standargewichten, d.h. $b_{n}(x,y)=1$ falls $x\neq y$, $b(x,y)=0$, falls $x=y$ und $c_{n}\equiv0$. Wählen Sie  drei Ihrer  Lieblingszahlen $n$ aus $\N\setminus\{1\}$. Geben Sie für diese $n$ jeweils die Matrix $l_{b_{n},c_{n}}$, die Wirkung des Laplaceoperators $L_{b_{n},c_{n}}$ an  und skizzieren Sie  den Graph.

\item[(2)] Sei $X$ eine Menge mit der diskreten Topologie ausgestattet welche durch die diskrete Metrik $d$, d.h., $d(x,y)=1$ für $x\neq y$ und       $d(x,y)=0$ für $x=y$, gegeben ist.
\begin{itemize}
  \item [(a)]  Zeigen Sie, dass jede Funktion $f:X\to\R$ stetig ist.
  \item [(b)] Betrachten Sie die Menge $C(X)$ der stetigen reellwertigen Funktion auf $X$. Geben Sie eine Addition und skalare Multiplikation an mit der $C(X)$ ein reeller Vektorraum ist.
  \item [(c)] Geben Sie ein Beispiel einer Basis von  $C(X)$ an.
\end{itemize}

\item[(3)] Sei $(b,c)$ ein Graph über einer endlichen Menge $X$. Zeigen Sie, dass die Form,
die gegeben ist durch
$Q_{b,c}:C(X)\to[0,\infty)$, $f\mapsto Q_{b,c}(f):=Q_{b,c}(f,f)$ mit
 \begin{align*}
    Q_{b,c}(f,f)=\frac{1}{2}\sum_{x,y\in X}b(x,y)(f(x)-f(y))^{2}+\sum_{x\in X}c(x)f(x)^{2},
\end{align*}
eine quadratische Form ist, d.h. $Q_{b,c}$ erfüllt
      \begin{align*}
        Q_{b,c}(\al f)=\al^{2}Q_{b,c}(f)\quad \mbox{and}\quad Q_{b,c}(f+g)+Q_{b,c}(f-g)=2(Q_{b,c}(f)+Q_{b,c}(g))
      \end{align*}
für alle  $f,g\in C(X)$.

\newpage


\item[(4)] Sei  $(b,c)$ ein Graph über einer endlichen Menge $X$. Definiere weiterhin
    $\deg:X\to[0,\infty)$
    \begin{align*}
        \deg(x)=\sum_{x\in X}b(x,y)+c(x),
    \end{align*}
und für $W\subseteq X$
    \begin{align*}
        E_{W}:=\{(x,y)\in W\times W\mid b(x,y)>0\}.
    \end{align*}
    sowie
    \begin{align*}
        \partial_{E}W = \left({W\times X\setminus W}\right) \cup \left({\left({X\setminus W\times W}\right)}\right)\cap E_{X}.
    \end{align*}
    Zeigen Sie, dass einen Graph mit Standardgewichten und für alle $W\subseteq X$ gilt
    \begin{align*}
        \deg(W):=\sum_{x\in W}\deg(x) = \#E_{W}+\frac{1}{2}\#\partial_{E}W.
    \end{align*}
    und insbesondere
    \begin{align*}
        \deg(X)=\#E_{X}.
    \end{align*}
    Geben Sie eine Interpretation der Gleichung in Worten an.
\end{itemize}
\end{document}
