Seminar Geometrie: Analysis auf metrischen Räumen

Christian Bär

Wintersemester 2013/14

In diesem Seminar wird eine Einführung in die Analysis auf metrischen Räumen gegeben. Die Vorstellung und Verteilung der Vortragsthemen erfolgt in der ersten Sitzung am 17.10.2013.

Wann:

Do, 14:15-15:45

Wo:

Haus 19, Raum 1.19

Seminarplan:

Datum Vortrag Referent Inhalt
24.10.13Äußere MaßeChristian Beckeräußere Maße, Caratheodory-Messbarkeit, Monotonie und Stetigkeit von Maßen, Caratheodory-Kriterium [1, Kap. 1.1]
07.11.13Signierte Maße und Vektormaße, Konvergenz von MaßenChristian BärVektorwertige Maße, Darstellungssatz von Riesz, schwache Konvergenz von Maßen [1, Kap. 1.2 und 1.3]
14.11.13Hausdorff-MaßDavid HansenHausdorff-Maß, Borel-Regularität, Hausdorff-Dimension, Überdeckungssatz von Vitali, Lebesgue'scher Differentiationssatz [1, Kap. 2.1 bis einschl. Thm. 2.2.4]
21.11.13Ahlfors-Regularität, isodiametrische Ungleichung und DichtenAriane BeierBrunn-Minkowski-Ungleichung (ohne Beweis), isodiametrische Ungleichung, Beziehung zwischen Lebesgue- und Hausdorff-Maß, Dichten, Radon-Maße [1, Kap. 2.2 ab Definition 2.2.5 bis Kap 2.4]
28.11.13Lipschitz-FunktionenViktoria RotheFortsetzungssatz von McShane, Lipschitz-Projektionen und Hausdorff-Maß, Lipschitz-Niveaumengen, W^{1,\infty}, Satz von Rademacher, Lokalitätsprinzip [1, Kap. 3.1 und 3.2]
05.12.13Die FlächenformelRamona ZieseFlächenformel (Beweis nur im 1-dimensionalen Fall), absolut stetige Funktionen, C1-Fortsetzungssatz [1, Kap. 3.3 und 3.4]
12.12.13GeodätischeFranziska Beitzmetrische Ableitung, Länge einer Lipschitz-Kurve, Umparametrisierung, Existenz von Geodätischen in kompakten metrischen Räumen [1. Kap. 4.1 bis 4.3]
19.12.13Hausdorff-AbstandChristin BöttcherKurvenlänge versus 1-dimensionales Hausdorff-Maß, Satz von Arzela-Ascoli, Rektifizierbarkeitssätze, Hausdorff-Abstand abgeschlossener Teilmengen, Hausdorff-Konvergenz [1, Kap. 4.4 bis einschl. Def. 4.4.11]
09.01.14Hausdorff-KonvergenzChristian BeckerVollständigkeit des Hausdorff-Abstands, Kuratowski-Konvergenz, Satz von Blaschke, Satz von Golab [1, Kap. 4.4 ab Prop. 4.4.12]
16.01.14Gromov-Hausdorff-KonvergenzKlaus KrönckeGromov-Abstand metrischer Räume, ε-Netze, Gromov'scher Einbettungssatz, Steiner-Problem [1, Kap. 4.5]
30.01.14Sobolev-RäumeRoger Tagne WafoMetrische Sobolev-Räume, Lipschitz-Approximation, Doppelungs-Bedingung, Lebesgues Differentiationstheorem [1, Kap. 5.1 und 5.2 bis einschl. Bem. 5.2.9]
06.02.14Hardy-Littlewood-Ungleichung und Poincare-UngleichungMax SchneiderHardy-Littlewood-Ungleichung, metrische versus klassische Sobolev-Räume, Poincare-Ungleichung [1, Kap. 5.2 ab Thm. 5.2.10 bis einschl. Thm. 5.4.1]
07.02.14Sobolev'scher EinbettungsssatzMax LewandowskiSobolev'scher Einbettungssatz, Rellich'scher Einbettungssatz [1, Kap. 5.4 ab Thm. 5.4.2]

Semester (empfohlen):

ab 5

Modulnummer(n):

651, 661, 851, 852, A430

Erforderliche Vorkenntnisse:

Grundvorlesungen über lineare Algebra und Analysis, metrische Räume, Maßtheorie

Literatur:

  1. L. Ambrosio, P. Tilli: Topics on Analysis in Metric Spaces, Oxford University Press 2004
  2. J. Heinonen: Lectures on Analysis on Metric Spaces, Springer-Verlag 2001