Forschungsseminar Differentialgeometrie

Christian Bär

Wintersemester 2012/13

In diesem Seminar werden aktuelle Themen aus der Forschung in der Differentialgeometrie und ihren Nachbargebieten besprochen. Interessenten sind herzlich willkommen.

Wann:

Montags, 14:15-15:45

Wo:

Haus 19, Raum 1.19

Seminarplan (Vorträge):

Datum Vortrag Referent Inhalt
15.10.12Seiberg-Witten-TheorieChristian BeckerSeiberg-Witten-Theorie ist eine U(1)-Eichtheorie mit Spinoren, die auf geschlossenen 4-Mannigfaltigkeiten definiert ist. In dem Vortrag gebe ich eine Einführung in die Begriffe, Methoden und Anwendungen der Seiberg-Witten-Theorie.
22.10.12Local index theory and semiclassical analysisMatthias LudewigWitten's approach of Morse theory makes use of a disturbed de Rham complex and semiclassical approximations of it. We use an asymptotical heat kernel expansion for the semiclassical limit to derive a local index formula for it. Among other things, this recovers the Gauss-Bonnet-Chern theorem as well as the Poincaré-Hopf theorem.
29.10.12The space of positive scalar curvature metricsBernhard Hanke{tex}\noindent
Based on classical work by Casson and Hatcher we construct the first examples of smooth fibre bundles over spheres whose total spaces have non-vanishing $\hat{A}$-genera. This is applied to detect non-trivial higher homotopy groups of spaces of positive scalar curvature metrics on spin manifolds. This is joint work with Thomas Schick and Wolfgang Steimle.
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05.11.12Geometrisch formale 4-Mannigfaltigkeiten nichtnegativer KrümmungChristian Bär{tex}\noindent
Eine riemannsche Mannigfaltigkeit heißt \emph{geometrisch formal}, wenn das Dachprodukt zweier harmonischer Formen stets wieder harmonisch ist. Wir diskutieren 4-dimensionale geometrisch formale Mannigfaltigkeiten mit Schnittkr\"ummung $K\ge 0$.
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12.11.12Ricci flow, Lie theory and sphere theoremsChristoph BöhmWe will discuss several sphere theorems and their proofs using Ricci flow. Also it will be explained how Lie theory can be used to describe certain qualitative properties of Ricci flow in higher dimensions.
26.11.12Spaces of morphisms between supermanifoldsFlorian HanischAfter a short introduction to supermanifolds, we will sketch how to contsruct the infinite-dimensional supermanifold of all morphisms between two given supermanifolds.
03.12.12On positively curved 4-manifoldsChristian Bär{tex}
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The main result is the following:\\
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\textbf{Theorem.}
Let $M$ be a connected compact oriented $4$-dimensional Riemannian manifold.
Suppose that the sectional curvature satisfies $K\ge \kappa >0$ and all harmonic $2$-forms $\omega$ satisfy $|d|\omega||\leq \sqrt{8\kappa}\cdot |\omega|$ wherever $\omega$ does not vanish.
Then $M$ is homeomorphic to $S^4$ or to $\underbrace{\mathbb{CP}^2\sharp\cdots\sharp\mathbb{CP}^2}_k$ with $1\le k\le 10^{238}$.
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10.12.12Pinning and de-pinning phenomena in front propagation in heterogeneous mediaViktoria RotheThis diploma thesis investigates two different parabolic differential equations which appear in the modelling of front propagation in a heterogeneous medium with a constant external driving force F. For small F, these equations have stationary solutions, named pinned states, and for F above some threshold value the solutions move with genuine motion. These phenomena are called pinning and de-pinning. In the case of a periodic medium the interface velocity of the solutions, where F is near the threshold value, is examined quantitatively. These results are proved for a class of semilinear and reaction-diffusion equations.
17.12.12Differentielle KohomolgieChristian Becker{tex}
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Die differentielle Kohomologie $\widehat H^*(M;\mathbb Z)$ einer Mannigfaltigkeit $M$ ist eine Verfeinerung der singul\"aren Kohomologie $H^*(M;\mathbb Z)$ durch Differentialformen, d.h. eine Erweiterung rein topologischer Daten durch Geometrie. So werden z.B. komplexe Geradenb\"undel $L \to M$ klassifiziert bis auf Isomorphie durch ihre erste Chernklasse $c_1(L) \in H^2(M;\mathbb Z)$. Hermitesche Geradenb\"undel $L \to M$ mit Zusammenhang $\nabla$ werden klassifiziert bis auf Isomorphie durch die differentielle Kohomologie $\widehat H^2(M;\mathbb Z)$. \\
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Die erste Chernklasse $c_1(L) \in H^2(M;\mathbb Z)$ und die Kr\"ummungs-2-Form $R^\nabla \in \Omega^2(M;i\mathbb R)$ eines hermiteschen Geradenb\"undels mit Zusammenhang stimmen in der reellen Kohomogie (nach geeigneter Normierung) \"uberein. Analog haben Elemente der differentiellen Kohomologie $\widehat H^k(M;\mathbb Z)$ eine charakteristische Klasse in $H^k(M;\mathbb Z)$ und eine Kr\"ummung in $\Omega^k(M)$, die in der reellen bzw. de Rham-Kohomologie \"ubereinstimmen. \\
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Das cup-Produkt $\cup$ auf der singul\"aren Kohomologie und das wedge-Produkt $\wedge$ von Differentialformen induzieren dasselbe Produkt auf der reellen bzw. de Rham-Kohomologie. Auf der differentiellen Kohomologie gibt es ebenfalls ein Produkt, so dass Kr\"ummung und charakteristische Klasse multiplikativ sind. Es war lange Zeit offen, ob dieses Produkt eindeutig bestimmt ist. Diese Frage wurde 2007 von Simons und Sullivan positiv beantwortet. In dem Vortrag gebe ich einen neuen Beweis dieser Eindeutigkeit, der (im Gegensatz zu dem bekannten Beweis) sogar zu einer Formel für das Produkt f\"uhrt.
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07.01.13On the Ricci flow near negative Einstein metrics{tex}
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We say that a compact Einstein metric $(M,g_E)$ is stable if the operator $\mathcal{G}=\nabla^*\nabla-2\mathring{R}$ is nonnegative on $TT$-tensors.\\
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In the talk, we show the following: Let $(M,g_E)$ be a compact and stable Einstein manifold with Einstein constant $-1$ and suppose all infinitesimal Einstein deformations are integrable. Then, there exists a small $C^k$-neighbourhood $\mathcal{U}$ of $g_E$ in the space of metrics such that a certain normalized variant of the ricci flow, starting in $\mathcal{U}$ exists for all time and converges to an Einstein metric with constant $-1$.
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21.01.13On the Ricci flow near negative Einstein metrics II{tex}
Assume that a compact Einstein manifolds $(M,g_E)$ with constant $-1$ is linearly stable and all infinitesimal Einstein deformations of $g_E$ are integrable. Then we prove that the functional $\mu_+$ attains a local maximum at $g_E$ in the space of metrics. Moreover, we develop an optimal Lojasiewicz inequality for $\mu_+$. At last, we show that
$$\left\|\nabla \mu_+\right\|_{L^2}\geq c\left\|\mathrm{ric}+g\right\|_{L^2}$$
near $g_E$. These theorems are essential in proving that $g_E$ is an attractor of the rescaled Ricciflow $\dot{g}=-2(\mathrm{ric}+g)$.
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28.01.13Toologische Feldtheorien und topologische K-TheorieChristian BeckerIn dem Vortrag gebe ich eine kurze Einführung in topologische Feldtheorien (nach Atiyah und Segal) und in topologische K-Theorie.
04.02.13K-theory and super symmetric field theoriesPeter TeichnerWe'll explain how a super symmetric version of an Atiyah-Segal type field theory leads to K-theory. The index theorem then translates into the fact that `path integral quantization' gives a push-forward in K-theory. This is a report on joint work with Stephan Stolz.

Erforderliche Vorkenntnisse:

Differentialgeometrie