Forschungsseminar Differentialgeometrie

Christian Bär

Wintersemester 2010/2011

In diesem Seminar werden aktuelle Themen aus der Forschung in der Differentialgeometrie und ihren Nachbargebieten besprochen. Interessenten sind herzlich willkommen.

Wann:

Donnerstag, 16:15-17:45

Wo:

Haus 8, Raum 0.53

Seminarplan (Vorträge):

Datum	Vortrag	Referent	Inhalt
14.10.10	Fast-harmonische Spinoren	Nicolas Ginoux	Es handelt sich um eine Zusammenarbeit mit Jean-Francois Grosjean (Nancy). Wir zeigen, dass auf einer zur 2-Sphäre nicht diffeomorphen geschlossenen Spin-Mannigfaltigkeit der Dimension {tex}n\geq 2{/tex} das Infimum von {tex}\lambda_1(D_g^2)^+\cdot\mathrm{Vol}(M,g)^{{2}/{n}}{/tex} auf dem Raum aller riemannschen Metriken verschwindet.
21.10.10	Gravitation, Torsion und spektrales Wirkungsprinzip		Wir betrachten riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Torsionszusammenhängen. Zunächst gebe ich einen Einblick in die klassische Einstein-Cartan-Theorie und komme dann zum spektralen Wirkungsprinzip nach Connes, wonach man mit Hilfe des Dirac-Spektrums den Levi-Civita-Zusammenhang charakterisieren können soll. Die spektrale Wirkung nach Chamseddine-Connes spielt beim nicht-kommutativen Zugang zur Teilchenphysik eine wichtige Rolle, und zum Schluss gebe ich eine neue Formel dafür im Torsionsfall an.
04.11.10	Einführung zum Ricci-Fluss	Christian Becker	Der Ricci-Fluss ist eine geometrische Evolutionsgleichung, deren Studium sehr weitreichende Anwendung in der geometrischen Analysis hat. Der Vortrag dient als erste Einführung. Neben Bemerkungen zur Motivation werden die einfachsten Beispiele vorgestellt und die Entwicklung der Krümmungsgrößen unter dem Fluß diskutiert. Desweiteren werden einige Techniken vorgestellt, die für die Anwendung des Ricci-Flusses auf geometrische Fragestellungen nützlich sind. Dieser Vortrag dient der Vorbereitung der beiden folgenden Vorträge von Jörg Enders.
11.11.10	Monotonie im Ricci-Fluss	Jörg Enders	Wir beginnen mit der differentiellen Harnack-Ungleichung für die Wärmeleitungsgleichung auf Mannigfaltigkeiten. Dann zeigen wir, wie eine erstaunlich analoge Harnack-Abschätzung von Perelman zu monotonen Größen im Ricci-Fluss führt. Wir behandeln hier das reduzierte Volumen. Abschließend betrachten wir eine Verallgemeinerung dieser Größe, welche die Singularität berücksichtigt.
18.11.10	Über Typ-I-Singularitäten im Ricci-Fluss	Jörg Enders	Der Vortrag beschäftigt sich mit der Struktur von "typischen" Singularitäten im Ricci-Fluss, sog. Typ-I-Singularitäten. Wir zeigen zunächst, dass Reskalierungen um singuläre Punkte zu nicht-trivialen Flüssen mit spezieller Struktur konvergieren. Daraus folgern wir, dass alle natürlichen Definitionen von singulärer Menge äquivalent sind und dass die Skalarkrümmung in singulären Punkten unbeschränkt ist. Außerdem verschwinden die Volumina von kompakten singulären Mengen. Es handelt sich hierbei um eine Zusammenarbeit mit Reto Müller und Peter M. Topping.
09.12.10	Die Evolutionsgleichungen für regularisierte Dirac-harmonische Abbildungen	Volker Branding	Nach einer kurzen Einführung in die für den Vortrag relevanten Aspekte von harmonischen bzw. Dirac-harmonischen Abbildungen wird eine Regularisierung des Dirac-harmonischen Energiefunktionals eingeführt. Anschließend werden die zum regularisierten Funktional zugehörigen Evolutionsgleichungen studiert, welche auf ein System gekoppelter nicht-linearer PDE's führt. Neben der Kurzzeitexistenz werden Bedingungen für die Langzeitexistenz dieses Gleichungssystems diskutiert werden.
16.12.10	Die Evolutionsgleichung für magnetische Geodätische	Immanuel Asmus	Im Vortrag werden magnetische harmonische Abbildungen und die bereits bekannten Ergebnisse über die Kurz- und Langzeitexistenz der zugehörigen Evolutionsgleichung dargestellt. Anschließend soll das Konvergenzverhalten des magnetischen Wärmeflusses untersucht und die dabei auftretenden Probleme diskutiert werden.
06.01.11	Infinitesimal rigidity of convex surfaces and the Einstein-Hilbert functional	Ivan Izmestiev	Smooth strictly convex surfaces in R3 are infinitesimally rigid, i.e. they allow no non-trivial deformations that would preserve their intrinsic metric in the first order. We give a new proof of this which is based on variations of the Hilbert-Einstein functional. Instead of deforming the surface, we reduce the question to "warped product"-deformations of the metric in the domain bounded by the surface. By studying the second variation of the Hilbert-Einstein functional, we show that every deformation that preserves the boundary metric and leaves the interior metric Euclidean must be trivial. This implies the infinitesimal rigidity of the surface.
13.01.11	Eigenwerte und die spektrale Determinante von riemannschen Flächen	Alexander strohmaier	Der Vortrag beschäftigt sich mit einem Algorithmus, der die numerische Bestimmung der Eigenwerte einer hyperbolischen Fläche vom Geschlecht g erlaubt. Dabei ist der Fehler abschätzbar, sowie kann bewiesen werden, dass keine Eigenwerte ausgelassen werden. Aus den gewonnenen Eigenwerten kann die spektrale Determinante sehr genau bestimmt werden. Numerische Berechnungen zeigen, an welcher Stelle im Teichmüllerraum Eigenwerte und Determinante maximal werden.
27.01.11	Wellenabbildungen auf gekrümmten Raumzeiten	Klaus Kröncke	Wir werden zunächst grundlegende Eigenschaften von Wellenabbildungen und ein lokales Existenztheorem auf global hyperbolischen Lorentz- Mannigfaltikeiten betrachten. Anschließend studieren wir Wellenabbildungen auf spezielleren Raumzeiten (Robertson-Walker und Schwarzschild) und untersuchen, unter welchen Bedingungen Langzeitexistenz eintritt.
03.02.11	Probabilistic methods for Schrödinger semigroups on vector bundles	Batu Güneysu	In this talk, I will explain how one can prove a Feynman-Kac type formula for Schrödinger type operators (with possibly singular potentials) on vector bundles over complete Riemannian manifolds, and how this formula can be used to derive information about the spectral theory of these operators.
10.02.11	Spektralprojektionen und die Regularität der Etafunktion für Randwertprobleme	Elmar Schrohe	Die Etafunktion eines selbstadjungierten elliptischen Differentialoperators A der Ordnung m>0 auf einer geschlossenen Mannigfaltigkeit der Dimension n ist definiert durch {tex} \eta_A(s) = \sum_{\lambda_j\not=0} \text{sgn} (\lambda_j)\|\lambda_j\|^{-s}.{/tex} Die Summe konvergiert, sofern der Realteil von s größer als n/m ist, und stellt dann eine holomorphe Funktion dar. Nach Resultaten von Seeley hat diese Funktion eine Fortsetzung auf die ganze Ebene mit höchstens einfachen Polen in den Punkten (j-n)/m, j=0,1,.... A priori könnte der Ursprung also ein Pol sein. Ein nicht-triviales Resultat besagt, dass dies nicht der Fall ist (Atiyah-Patodi-Singer 1975, Gilkey 1982), und der Wert der Funktion in Null, die so genannte Eta-Invariante, spielt eine wichtige Rolle in der Indexformel von Atiyah, Patodi und Singer. Ein weiterer Beweis der Regularität wurde 1984 von Wodzicki gegeben. Er zeigt ein bemerkenswertes Zusammenspiel von Topologie und Analysis und interessante Beziehungen zwischen Zeta-Funktionen und Eta-Funktionen, nichtkommutativen Residuen und Spektralprojektionen. Motiviert durch Arbeiten von Grubb und Gaarde widmen wir uns der entsprechenden Frage für den Fall elliptischer Randwertprobleme. Hier findet man eine ähnliche Verbindung zwischen Zeta-Funktionen, Eta-Funktionen und Spektralprojektionen. Allerdings blieb die Struktur der Spektralprojektionen lange im Dunkel und es war nicht klar, was das nichtkommutative Residuum ersetzen könnte.
29.03.11	Noncommutative geometry in mathematics and physics	Alan Carey	Alain Connes has long emphasised the role that quantum theory has played in formulating noncommutative versions of classical geometry. In this talk I will first give a history from my own perspective of the interactions between mathematics and physics that indicated the existence of a noncommutative view of geometry and then explain how index theory is formulated in the noncommutative world.

Erforderliche Vorkenntnisse:

Differentialgeometrie