C. Bär, M. Klein, S. Roelly
Wintersemester 2009/2010
Es werden Themen aus dem Grenzbereich zwischen Differentialgeometrie, mathematischer Physik und stochastischer Analysis behandelt. Die genaue Vorstellung der einzelnen Vortragsthemen erfolgt in der ersten Semesterwoche.
Freitag, 13:30-15:00
Haus 8, Raum 0.53
| Datum | Vortrag | Referent | Inhalt |
| 23.10.09 | Stochastische Vollständigkeit und Volumenwachstum | Christian Bär | In diesem Vortrag wird eine Vermutung von A. Grigoryan widerlegt, die aussagt, dass eine Volumenwachstumsbedingung hinreichend für die stochastische Vollständigkeit einer riemannschen Mannigfaltigkeit sei, vgl. [1, S. 238, Problem 9]. Es handelt sich um gemeinsame Resultate mit P. Bessa. |
| 30.10.09 | Fast-exponent. Abfallverhalten v. Resonanzzuständen in der QM und Paley-Wiener-Sätze in Gevreyräumen | Juliane Rama | {tex}Sei $H_0$ ein selbstadjungierter Operator in einem Hilbertraum und $\lambda_0$ ein eingebetteter Eigenwert von $H_0$ mit endlicher Vielfachheit. $\Pi_0$ bezeichne den zugeh\"origen Eigenprojektor. F\"ur eine Familie von gest\"orten Hamiltonoperatoren $H(\kappa)$, analytisch in einem abstrakten Balslev-Combes-Setting, wird die Korrektur zum rein exponeniellen Verhalten (in der Zeit $t$) von $\Pi_0 e^{-itH(\kappa)} g(H(\kappa)) \Pi_0$ diskutiert. Dabei ist $g$ eine Cut-off-Funktion in einer Gevreyklasse mit $0\leq g\leq 1$, $g(\lambda_0)=1$ und hinreichend kleinem Tr\"ager. Das Hauptresultat ist eine optimale Absch\"atzung des Restglieds (zum rein exponentiellen Anteil) in Abh\"angigkeit der Gevreyindices. {/tex} |
| 13.11.09 | Pfadintegrale auf Mannigfaltigkeiten | Pfadintegrale auf Mannigfaltigkeiten | |
| 27.11.09 | Metastabilität, kleine Eigenwerte und Resonanzen | Markus Klein | TBA |
| 04.12.09 | Zur wesentlichen Selbstadjungiertheit des Laplace-Operators auf offenen Mannigfaltigkeiten | Christian Becker | {tex}Sei $(X,d)$ ein kompakter metrischer Raum und $\Sigma \subset X$ eine abgeschlossene Teilmenge - die Singularit\"atenmenge. Sei ferner $M := X-\Sigma$ eine (offene) Mannigfaltigkeit und $g$ eine riemannsche Metrik auf $M$, so dass $(X,d)$ die metrische Vervollst\"andigung von $(M,g)$ ist. Wir suchen hinreichende Kritierien f\"ur die wesentliche Selbstadjungiertheit des Laplace-Operators bzgl. $g$ mit Definitionsbereich $C^{\infty}_0(M)$. Wir suchen solche Kriterien, die sich direkt in Termen der riemannschen Geometrie von $(M,g)$ oder der metrischen Geometrie von $(X,d)$ formulieren lassen - d.h. ohne den Typ der Singularit\"aten (Kegel, Ecken, Spitzen...) genauer zu spezifizieren. Ist z.B. $(X,d)$ selbst eine glatte riemannsche Mannigfaltigkeit, so ist $\mathrm{codim}_H(\Sigma) \geq 4$ hinreichend f\"ur die wesentliche Selbstadjungiertheit. {/tex} |
| 11.12.09 | Brown'sche Seifenblasen | Sylvie Roelly | Man betrachtet Systeme von Sphären, die im Raum Brown'schen Bewegungen folgen ohne sich zu überlappen. Zusätzlich hat jede Sphäre einen zeitabhängigen zufälligen Radius, der auch brownsch ist. Diese Dynamik wird durch eine stochastische Differentialgleichung mit Lokalzeiten modelliert, die gelöst wird, auch wenn die Anzahl der "Seifenblasen" unendlich ist. |
| 18.12.09 | From the Schrödinger problem to the Monge-Kantorovitch optimal transport problem | Christian Leonard | In the early thirties, Schrödinger addressed and solved formally a problem of statistical physics which possesses puzzling analogies with quantum mechanics (this was his motivation for addressing this problem). This problem also possesses strong analogies with the Monge-Kantorovich optimal transport problem. It will be shown that the Monge-Kantorovich problem (MK) is a limit of well chosen Schrödinger problems (S) when some temperature tends to zero. A link with geometry. The optimal solutions of (MK) are in one-one correspondence with some geodesics, while the optimal solutions of (S) are stochastic processes (bridges). Those geodesics will be interpreted as entropic limits of these bridges. |
| 08.01.10 | Meta-Stabilität für SPDE mit Sprungrauschen | Michael Högele | Meta-Stabilität für SPDE mit Sprungrauschen |
| 15.01.10 | Brown'sche Bewegung auf Mannigfaltigkeiten | Christian Bär | Übersichtsvortrag zu geometrischen Bedingungen für Rekurrenz und stochastische Vollständigkeit der Brown'schen Bewegung auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit. |
| 22.01.10 | Liouville-Eigenschaft 1 | Frank Pfäffle | Liouville-Eigenschaft, Teil 1 |
| 29.01.10 | Liouville-Eigenschaft 2 | Christian Becker | Liouville-Eigenschaft, Teil 2 |
| 05.02.10 | Liouville-Eigenschaft 3 | Elke Rosenberger | Liouville-Eigenschaft, Teil 3 |
| 12.02.10 | Das Sankt-Petersburg-Paradoxon | Sabine Siegert | Das Sankt-Petersburg-Paradoxon beschreibt ein Paradoxon in einem Glücksspiel, in welchem eine faire Münze solange geworfen wird, bis erstmalig Kopf fällt. Geschieht dies im k-ten Wurf, so gewinnt der Spieler 2^k Euro. Obwohl der erwartete Gewinn dieser Lotterie unendlich hoch ist, lehnen die meisten (alle) Spieler es ab, dieses Spiel auch nur für einen endlich hohen Einsatz zu spielen - eine paradoxe Situation, in der die klassische Erwartungswerttheorie versagt. Im Vortrag werden einige hervorstechende Lösungsansätze von 1713 bis heute vorgestellt und ein Zusammenhang zu der Bewertung von Wachstumsaktien und Börsencrashs aufgezeigt. Zudem wird das Paradoxon im Zusammenhang mit der moderneren Martingaltheorie und den Markovketten diskutiert. Asymptotische Betrachtungen (GGZ, ZGWS) und Ergebnisse numerischer Simulationen schließen den Vortrag ab. |