Seminar Geometrie: Gamma-Konvergenz

Christian Bär

Sommersemester 2014

Das Seminar wird sich mit dem Konzept der Gamma-Konvergenz befassen. Dies ist ein Grenzwertbegriff für Funktionale, der in vielen, ganz verschiedenen Situationen wichtig ist. So können z.B. kontinuierliche Variationsprobleme durch diskrete approximiert werden (in der Numerik), höherdimensionale gegen niederdimensionale konvergieren (Dünnschichtprobleme) oder stark oszillierende Lösungen durch Homogenisierung gegen so genannte effektive Lösungen streben.

Wann:

Do, 12:15-13:45

Wo:

Haus 8, Raum 0.53

Seminarplan:

Datum Vortrag Referent Inhalt
10.04.14EinführungChristian BärVorstellung des Themas und Verteilung der Vorträge auf die Interessenten.
17.04.14Γ-KonvergenzChristin BöttcherUnterhalbstetigkeit, Definition von Γ-Konvergenz, [B: 1.1-1.2]
24.04.14Äquivalente CharakterisierungenAriane BeierErste Beispiele, äquivalente Charakterisierungen von Γ-Konvergenz, Existenz von Minima, [B: 1.3-1.5]
08.05.14Bedeutung der UnterhalbstetigkeitChristian BeckerObere und untere Γ-Limites, unterhalbstetige Einhüllende, Approximation durch unterhalbstetige Funktionen, Weierstrass-Theorem, [B:1.6-1.7]
15.05.14Weitere Eigenschaften von Γ-LimitesFranziska BeitzKompaktheit von Γ-Konvergenz, Urysohn-Eigenschaft, kontinuierliche Parameter, Γ-Limites höherer Ordnung, [B: 1.8-1.10]
22.05.14Schwache Konvergenz in Lp-RäumenOleksandr ZadorozhnyiSchwache Konvergenz, oszillierende Funktionen als Beispiel, schwache Kompaktheit, schwache Koerzivität, Konvexität, [B: 2.1, 2.2]
05.06.14Sobolev-RäumeViktoria Rothekonvexe unterhalbstetige Einhüllende, Γ-Konvergenz in Lebesgue-Räumen, schwache Konvergenz in Sobolev-Räumen, Bedingung für schwache Unterhalbstetigkeit in Sobolev-Räumen, [B: 2.3, 2.4]
12.06.14Γ-Konvergenz in Sobolev-RäumenOliver Lindblad Petersenschwache Unterhalbstetigkeit in Sobolev-Räumen, Charakterisierung der Γ-Konvergenz in Sobolev-Räumen. Den Beweis von Theorem 2.35 bestenfalls skizzieren. [B: 2.5, 2.6, ggfs. App. B]
19.06.14Randbedingungen und WachstumsbedingungenAndreas HermannBerücksichtigung von Randbedingungen, degenerierte Wachstumsbedingungen, [B: 2.7, 2.8]
26.06.14HomogenisierungMax LewandowskiΓ-Limiten liefern Lösungen, die das "effektive Verhalten" des Problems wiedergeben, durch Homogenisierung von stark oszillierenden Lösungen. [B: 3.1, 3.2]
10.07.14Oszillierende riemannsche MetrikenKlaus KrönckeRiemannsche Metriken können als Γ-Limes eine Finsler-Metrik haben, die nicht riemannsch ist. [B: 3.3]
17.07.14Diskrete versus kontinuierliche FunktionaleDavid HansenDiskrete Funktionele, die als Γ-Limes ein kontinuierliches Funktional haben. Dies kann eine Rechtfertigung für numerische Approximationen darstellen. Beweis von Theorem 4.8 weglassen. [B: 4]

Semester (empfohlen):

ab 5

Modulnummer(n):

651, 661, 851, 852, A430

Erforderliche Vorkenntnisse:

Bachelor in Mathematik oder vergleichbar

Literatur:

A. Braides: Gamma-convergence for Beginners, Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications 22, 2002