Seminar Geometrie: Algebraische Topologie

Christian Becker

Sommersemester 2013

Das Seminar ist eine Einführung in Algebraische Topologie. Dort werden geometrische Fragestellungen (z.B. die Klassifikation von Flächen bis auf Homoömorphie) mittels algebraischer Invarianten (z.B. geeigneter Gruppen) behandelt.
Aus der Vielzahl topologischer Invarianten haben wir eine für die Geometrie besonders wichtige ausgewählt: die de Rham-Kohomologie. Die de Rham-Kohomologie-Gruppen einer glatten Mannigfaltigkeit werden aus Differentialformen konstruiert. Anhand der de Rham-Kohomologie lernen wir die Grundbegriffe und Methoden von Kohomologie-Theorien sowie hübsche Anwendungen kennen.
Ziel des Seminars ist, ein "working knowledge" dieser Methoden zu erlangen, um selbst Invarianten ausrechnen zu können. Daher gibt es neben den Seminarvorträgen in jeder Sitzung Gelegenheit, die vorgestellten Methoden selbst anzuwenden.

Wann:

Donnerstag, 12:15-13:45

Wo:

Haus 9, Raum 2.06

Seminarplan (Vorträge):

Datum Vortrag Referent Inhalt
11.04.13Der de Rham-KomplexN.N.Bott/Tu, p. 13 - 19
18.04.13Relative de Rham-KohomologieChristian BeckerBott/Tu, p. 19-22, 78f.
25.04.13Die Mayer-Vietoris-SequenzDavid HansenBott/Tu, p. 22-27
02.05.13Orientierung und IntegrationRamona ZieseBott/Tu, p. 27-33
16.05.13Das Poincare-LemmaFranziska BeitzBott/Tu, p. 33-37
23.05.13Das Poincare-Lemma, Teil IIChristian BeckerBott/Tu, p. 37-42
30.05.13Poincare-DualitätMax LewandowskiBott/Tu, p. 42-47
06.06.13Die Künneth-FormelAriane BeierBott-Tu, p. 47-53
13.06.13BeispieleChristian BeckerKohomologie projektiver Räume etc.
27.06.13Der Laplace-OperatorHorst WendlandJost, p. 79-87
04.07.13Hodge-TheorieViktoria RotheJost, p. 87-95
11.07.13AnwendungenChristian BeckerSatz von Bochner etc.

Semester (empfohlen):

ab 5.

Modulnummer(n):

851, 852

Erforderliche Vorkenntnisse:

Lineare Algebra I-II, Analysis I-II, Aufbaumodul Analysis I-II

Literatur:

  1. Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential Forms in Algebraic Topology, Springer 1982
  2. Jürgen Jost: Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Springer 1998
  3. Steven Rosenberg: The Laplacian on a Riemannian Manifold, Cambridge University Press 1997