Christian Bär
Sommersemester 2013
In diesem Seminar werden aktuelle Themen aus der Forschung in der Differentialgeometrie und ihren Nachbargebieten besprochen. Interessenten sind herzlich willkommen.
Montags, 18:00-19:30
Haus 8, Raum 0.53
| Datum | Vortrag | Referent | Inhalt |
| 15.04.13 | Quantized Abelian connections on Lorentzian manifolds | Alexander Schenkel | In my talk I will construct a covariant functor from a category of Abelian principal bundles over globally hyperbolic spacetimes to a category of *-algebras that describes quantized principal connections. This theory allows for nontrivial 'generally covariant topological quantum fields' describing electric and magnetic charges, which are formulated by natural transformations from singular homology functors to the QFT functor. Identifying the electric charges with zero, I will show that the resulting QFT functor satisfies all axioms of locally covariant quantum field theory. This talk is based on a joined work with Marco Benini and Claudio Dappiaggi. |
| 22.04.13 | Wave equations on black hole spacetimes | Ariane Beier | I will give an introduction to black holes and discuss some existing results about wave equations on these spacetimes. |
| 29.04.13 | Hyperelastizität | Claudia Grabs | Ein Material heißt hyperelastisch, wenn die Arbeit, die für eine Deformation geleistet wird, wegunabhängig ist.
Die Spannungen im Material ergeben sich dann als Gradient aus einem skalaren Potential. Im Vortrag sollen grundlegende Konzepte der Elastizitätstheorie, insbesondere die Materialgesetze, diskutiert werden. |
| 06.05.13 | Spektrale Tripel auf Carnot-Mannigfaltigkeiten | Stefan Hasselmann | Die Idee der Arbeit ist es, auf bestimmten kompakten Mannigfaltigkeiten M ein Beispiel für ein spektrales Tripel neben dem kanonischen Standardtripel zu finden, welcher eine andere Geometrie auf diesem Raum beschreibt.
Aus diesem Grund schaue ich mir sogenannte "Carnot-Mannigkaltigkeiten" (oder allgemeiner "Sub-Riemannsche Mannigfaltigkeiten") an, welche ein horizontales Unterbündel HM des Tangentialbündels besitzen, das über Lie-Klammern den kompletten Tangentialraum erzeugt.
Beispiele für derartige Mannigfaltigkeiten sind die Heisenberg Gruppe (oder allgemeiner "Carnot-Gruppen") oder durch Gitter erzeugte homogene Räume von Heisenberg Gruppen.
Hier gibt es neben der geodätischen Metrik d_geo noch eine weitere Metrik, die "Carnot-Caratheodory Metrik" d_CC, welche die kürzeste Verbindung von zwei Punkten über horizontale Kurven beschreibt.
Es ist bekannt, dass die Hausdorff-Dimension des metrischen Raumes (M,d_CC) echt größer ist als die Hausdorff-Dimension des Raumes (M,d_geo). Während nun das kanonische Tripel die Metrik und Dimension von (M,d_geo) liefert, ist die Überlegung, ob man nicht auf analoge Weise ein spektrales Tripel konstruieren kann welches Metrik und Dimension von (M,d_CC) erkennt. Als kanonischer Kandidat bietet sich hier ein sogenannter "horizontaler Dirac-Operator" an, den ich unter Verwendung der Clifford-Multiplikation des Bündels HM konstruiere (es ist sozusagen ein Dirac-Operator, der sich auf die horizontalen Richtungen beschränkt). Man sieht relativ schnell, dass dieser Operator über die Connes-Metrik-Formel die Carnot-Caratheodory Metrik erkennt. Allerdings liefert dieser Operator kein spektrales Tripel, da er keine kompakte Resolvente besitzt: Konkret zeige ich dieses am Beispiel von homogenen Räumen von Carnot-Gruppen. Hier konstruiere ich einen horizontalen Dirac-Operator D^H (unter Verwendung der Spin-Strukturen auf dem zu den horizontalen Richtungen gehörenden Torus) und zeige, dass dieser Operator auf jeden Fall einen Eigenwert mit unendlich dimensionalem Eigenraum besitzt. Für den Fall von homogenen Heisenberg-Mannigfaltigkeiten greife ich da auf Ihre Berechnungen des Spektrums von klassischen Dirac-Operatoren unter Verwendung der Darstellungstheorie der Heisenberg-Gruppe zurück: Man kann für einen horizontalen Dirac-Operator eine analoge Spektralzerlegung durchführen, und das Ergebnis dieser Spektralzerlegung ist schließlich dass der Operator einen unendlich dimensionalen Kern besitzt. Weiterhin zeige ich, dass dieses impliziert dass auf beliebigen homogenen-Carnot-Mannigfaltigkeiten ein derartiger horizontaler Dirac-Operator in zumindest einem Eigenwert degeneriert. Schränkt man allerdings auf Heisenberg-Mannigfaltigkeiten D^H auf das orthogonale Komplement seines Kernes ein, so kann man aus diesen Berechnungen schlussfolgern, dass $(D^H)^{-s}$ genau dann ein Spurklasse-Operator ist wenn s größer als die Hausdorff-Dimension von (M,d_CC) ist. Folglich liefert also $D^H$ auch die Hausdorff-Dimension. Nach detaillierter Berechnung dieser konkreten Beispiele zeige ich, dass ähnliche Probleme für jedliche Art von horizontalen Dirac-Operatoren auftauchen: Ich zeige dass die (von mir konstruierten) horizontalen Dirac-Operatoren nicht hypoelliptisch sind. Konkret betrachte ich die Operatoren in einem lokalen Rahmen, welcher die Gradierung des Tangentialbündels respektiert, und betrachte deren Quadrate. Diese sind dann sogenannte "horizontale Laplace-Operatoren" (oder "Sub-Laplacians"), für welche es im Fall von Heisenberg-Mannigfaltigkeiten eine komplette Charakterisierung der Hypoelliptizität aufgrund der Rockland-Bedingung gibt. Aus dieser Charakterisierung folgt, dass horizontale Dirac-Operatoren auf beliebigen Heisenberg-Mannigfaltigkeiten nicht hypoelliptisch sind. Ferner formuliere (und beweise) ich ein Kriterium für Nicht-Hypoelliptizität, nach welchem man wieder den Fall von beliebigen Carnot-Mannigfaltigkeiten auf Heisenberg-Mannigfaltigkeiten zurückführen kann und zeige so, dass horizontale Dirac-Operatoren nicht hypoelliptisch sind. Für die Analyse im Sinne von Spektraltripeln bedeutet das folgendes: Es gibt ein Pseudodifferential-Kalkül, entwickelt von Richard Beals und Peter Greiner, mit welchem man zeigen kann, dass die Resolvente eines selbstadjungierten hypoelliptischen Operators in diesem Kalkül kompakt ist. Ferner ist auch die Eigenwert-Asymptotik eines selbstadjungierten hypoelliptischen horizontalen Laplace-Operators auf einer kompakten Heisenberg-Mannigfaltigkeit bekannt (und liefert genau die Hausdorff-Dimension dieser Heisenberg-Mannigfaltigkeit mit d_CC). Wäre D^H also hypoelliptisch, würde es genau in das Connes-Modell passen. Leider ist dieses nicht der Fall. Die allgemeine Theorie legt weiterhin nahe, ein spektrales Tripel unter der Verwendung der Wurzel eines positiven selbstadjungierten horizontalen Laplace-Operators zu konstuieren. Leider erkennt man in diesem Fall nicht mehr die Carnot-Caratheodory-Metrik über die Connes-Metrik-Formel, und es ist mir leider (bisher...) auch nicht gelungen, Abschätzungen gegen diese Metrik zu zeigen. Aber ich beschreibe eine Formel, welche anstelle des horizontalen Dirac-Operators einen horizontalen Laplace-Operator verwendet, die die Carnot-Caratheodory-Metrik rekonstruiert. |
| 13.05.13 | Electro(magneto)elasticity | Ramona Ziese | We study once more bodies that deform under the influence of an external electromagnetic field.
The body and the surrounding space are modelled by Riemannian manifolds (B,G) and (S,g), respectively.
The body's deformation is described by a time-dependent smooth embedding of B in S. In the last talk we have already formulated the balance laws that govern the motion of B and introduced constitutive laws that encode the substance B is made of. In this talk we will use another formulation of the balance laws that leads to the same equation of motion but is more suitable for doing electro(magneto)elasticity on manifolds. We will show, that the assumption of balance of energy being invariant under spatial diffeomorphisms already implies balance of momentum and angular momentum, respectively, and provides the well-known Doyle-Ericksen formula. Moreover we will formulate a specific constitutive law that describes electroelastic materials and simplifies to the usual law describing hyperelastic materials if we put the external electric field to 0. At last we will discuss the equation of motion resulting from this law. |
| 27.05.13 | Path integration on manifolds | Matthias Ludewig | We consider the Neumann- and Dirichlet problem for the scalar Laplacian on a manifold with boundary. We derive path integral formulas in the case that the boundary is totally geodesic and give ideas how to tackle the general problem, when one drops the latter requirement. |
| 03.06.13 | A nuclear Weyl algebra and applications in field theory | Stefan Waldmann | TBA |
| 10.06.13 | Die Spektralwirkung in der Teilchenphysik | Christoph Stephan | TBA |
| 24.06.13 | Nichtlineare Wellengleichungen | Viktoria Rothe | TBA |
| 01.07.13 | A formal ansatz for the fundamental solution of normally hyperbolic operators | Max Lewandowski | We start with a short introduction of some basic concepts, e.g. distributions on vector bundles, Riesz distributions in particular as well as normally hyperbolic operators. The central object is then a certain series consisting of Riesz distributions as a formal ansatz in a small domain of a Lorentzian manifold in order to determine the fundamental solution of such normally hyperbolic operators, for example the d'Alembertian. In this course we show existence and uniqueness of the corresponding coefficients (Hadamard coefficients) and derive an explicit formula for them. |
| 08.07.13 | Averaging along Levy jump diffusions in foliated spaces | Michael Högele | In this talk we consider a stochastic differential equation driven by a Levy noise on a foliated manifold, whose trajectories stay on compact leaves. We determine the effective behaviour of the system subject to a small smooth transversal perturbation of order epsilon > 0. After a more general introduction to the subject and the result for the Brownian case, the presentation will mainly be concerned with the result for the case of jump Levy noises with jump increments along local coordinates. |
| 17.07.13 | Spin^c Killing spinors and isometric immersions | Roger Nakad | {tex} In this talk, we establish a correspondence between the existence of a Spin$^c$ Killing spinor on homogeneous 3-dimensional manifolds $\mathbb E^*(\kappa, \tau)$ with 4-dimensional isometry group and isometric immersions of $\mathbb E^*(\kappa, \tau)$ into the complex space form $\mathbb M^4(c)$ of constant holomorphic sectional curvature $4c$, for some $c \in \mathbb R^*$. As applications, we show the non-existence of totally umbilic surfaces in $\mathbb E^*(\kappa, \tau)$ and we give necessary and sufficient geometric conditions to immerse a 3-dimensional Sasaki manifold into $\mathbb M^4(c)$. {/tex} Haus 8, Raum 0.53 |
| 17.07.13 | Hahn-Holomorphic functions and their applications | Alexander Strohmaier | (joint work with J. Müller) I will consider a class of functions that have convergent expansions near zero possibly containing terms of the form log(z) as well as non-rational powers of z. These functions have very similar properties as analytic functions. In particular I will show that a meromorphic Fredholm theorem holds in this context. I will demonstrate that this is a powerful tool to study scattering theory in even dimensions. After a short introduction into some elementary constructions in scattering theory and I will show that results such as non-accumulation of resonances near zero are straightforward consequences of our Fredholm theorem. Haus 8, Raum 0.53 |
| 01.08.13 | Solutions with a uniform time of existence of a class of characteristic semi-linear wave equations near null infinity | Roger Tagne Wafo | {tex} \textsf{ In this talk, after presenting the notions of classical and characteristic Cauchy problems with their respective specificities, we will focus on a theorem of semi-global existence and uniqueness for a characteristic semi-linear wave equation with data prescribed on a cone. We prove existence and uniqueness of solution of a class of semi-linear wave equations with initial data prescribed on the light-cone with vertex the origin of a Minkowski space-time. The nonlinear term is assumed to satisfy a nullity condition which guarantee that the neighborhood of the initial cone on which we obtain our solution does not shrink to zero as one approaches infinity. This result is applied to wave maps on Minkowski space-time $\mathbb{R}^{n+1}$ with $n\ge 3$. } {/tex} Haus 8, Raum 0.53 |
| 20.08.13 | h-principles for curvature relations on open manifolds | Nadine Große | From Gromov's h-principle for diffeomorphism-invariant open partial differential relations on open manifolds, we derive several existence results for Riemannian and Lorentzian metrics on open manifolds.
This is a joint work with Marc Nardmann. Haus 8, Raum 0.53 |