Forschungsseminar Differentialgeometrie

Christian Bär

Sommersemester 2011

In diesem Seminar werden aktuelle Themen aus der Forschung in der Differentialgeometrie und ihren Nachbargebieten besprochen. Interessenten sind herzlich willkommen.

Wann:

Donnerstags, 16:15 Uhr

Wo:

Haus 8, Raum 0.53

Seminarplan (Vorträge):

Datum Vortrag Referent Inhalt
14.04.11Elektroelastizitätstheorie IRamona ZieseIn der Elektroelastizitätstheorie werden deformierbare Körper, die elektrischen Feldern ausgesetzt werden, untersucht. Wir modellieren den deformierbaren Körper sowie den ihn umgebenden Raum als Riemannsche Mannigfaltigkeiten (B,G) bzw. (S,g) und die Deformation von B als glatte Einbettung von B in S.
Zunächst werden einige grundlegende Begriff aus der Elastizitätstheorie (materielle Zeitableitung, Transporttheorem, Piola-Transformation, etc.) wiederholt. Danach wird das zugrunde liegende Modell für die Wechselwirkung der elektromagnetischen Felder mit dem Körper dargestellt und es werden Erhaltungssätze/Bilanzgleichungen aufgestellt: Massen- Impuls-, Drehimpuls-, Energieerhaltung, Zweites Gesetz der Thermodynamik.
Als nächstes wird gezeigt, dass aus der Annahme der Invarianz der Energieerhaltung unter Diffeomorphismen F:S->S bereits Massen-,Impuls-und Drehimpulserhaltung folgen.
Die Erhaltungssätze berücksichtigen nicht die Substanz, aus der der Körper besteht. Weiterhin stellen sie ein System von partiellen Differential(-Un)gleichungen) dar, das mehr Unbekannte als (Un-)Gleichungen hat. Beide Probleme werden durch das Einführen von konstitutiven Gleichungen angepackt, in die die Eigenschaften des Materials eingehen.
21.04.11Elektroelastizitätstheorie IIRamona ZieseFortsetzung
28.04.11Die Evolutionsgleichungen für regularisierte Dirac-harmonische AbbildungenVolker BrandingIm Zentrum des Vortrags stehen die Evolutionsgleichungen für regularisierte Dirac-harmonische Abbildungen. Diese bilden ein System aus gekoppelten semi-linearen parabolischen partiellen Differentialgleichungen. Für den Fall, dass die Ursprungsmannigfaltigkeit eine Kurve ist wird das Langzeitverhalten und die Konvergenz der Evolutionsgleichungen untersucht.
Anschließend werden Dirac-harmonische Abbildungen von Flächen behandelt. Dazu werden zunächst die wichtigsten Theoreme für Evolutionsgleichungen von harmonischen Abbildungen von Flächen vorgestellt und dann diskutiert, welche Resultate auf den Dirac-harmonischen Fall übertragen werden können.
05.05.11Up to bounded smooth corrections, biharmonic Green functions are positiveHans-Christoph GrunauA classical example for a fourth order problem in mechanics is the linear clamped plate boundary value problem:
{tex}
(1)\phantom{xxxxxxxxx}\hspace{2cm}
\left\{
\begin{array}{ll}
\Delta^2 u=f \quad &\mbox{\ in\ } \Omega,\\
u=|\nabla u|=0\quad &\mbox{\ on\ }\partial \Omega .
\end{array}
\right.
{/tex}
"Linear questions'' like a priori estimates or existence results may be considered as well understood. This changes completely as soon as one poses the simplest "nonlinear question'':
  • What can be said about positivity preserving?
  • Does a clamped plate bend upwards when being pushed upwards?
  • Does in general bounded smooth domains {tex}\Omega\subset \mathbb{R}^n{/tex} positivity of the datum {tex}f\ge 0{/tex} imply positivity of the solution {tex}u\ge 0{/tex}?
It is known that the answer is "no'' in general. However, there are still positivity issues to be discussed. To explain this let {tex}G_{\Omega,\Delta^2}{/tex} denote the biharmonic Green function which is defined such that the solution of the above boundary value problem is given by
{tex}
(2)\phantom{xxxxxxxxx}\hspace{2cm}
u(x)=\int_{\Omega} G_{\Omega,\Delta^2} (x,y)f(y)\,dy.
{/tex}
In general, {tex}G_{\Omega,\Delta^2}\not\ge 0{/tex}. But adding a suitable bounded smooth correction to {tex}G_{\Omega,\Delta^2}{/tex} allows for proving estimates from above and below by different positive multiples of the \emph{same} singular positive function. This means that the suitably modified biharmonic Green function enjoys estimates which are completely analogous to those for the harmonic Green function {tex}G_{\Omega,-\Delta}{/tex} where a maximum principle is available.
The lecture is based on joint work with F. Robert (Nancy) and G. Sweers (Cologne).
12.05.11Holstwirkung, Torsion und SpektralwirkungChristoph StephanIch werde die letzte Arbeit "The Holst action by the spectral action" von Frank und mir vorstellen und eine kurze Einführung in Diracoperatoren mit Torsion geben.
19.05.11Variationsprobleme auf SupermannigfaltigkeitenFlorian HanischWir geben eine kurze Einführung in den funktoriellen Zugang zur Supergeometrie und diskutieren in diesem Kontext die Formulierung von Variationsproblemen. Im zweiten Teil des Vortrag wird die (Nicht-)Existenz von kritischen Punkten am Beispiel von Supergoedätischen diskutiert und die allg. Struktur solcher Punkte am Beispiel superharmonischer Abbildungen diskutiert.
26.05.11Quantum Dirac Field on Moyal-Minkowski SpacetimeRainer VerchA sketch of an approach towards Lorentzian spectral geometry (based on joint work with Mario Paschke) is described, together with a general way to define abstractly the quantized Dirac field on such Lorentzian spectral geometries. Moyal-Minkowski spacetime serves as an example. The scattering of the quantized Dirac field by a non-commutative (Moyal-deformed) action of an external scalar potential is investigated. It is shown that differentiating the S-matrix with respect to the strength of the scattering potential gives rise to quantum field operators depending on elements of the non-commutative algebra entering the spectral geometry description of Moyal-Minkowski spacetime, in the spirit of "Bogoliubov's formula'', in analogy to the situation found in external potential scattering by a usual scalar potential.
09.06.11Das konforme Modell am Beispiel des ÜberhandknotensAnnette MüllerUm das Modul des Überhandknotens zu bestimmen, wird ein bereits bekannter Algorithmus vereinfacht, in dem der vierdimensionale reelle Raum mit dem Raum der Quaternionen identifiziert wird. Es wird die Familie der Torusknoten betrachtet und das Modul am Beispiel des Überhandknoten untersucht.
23.06.11Relative Differentialcharaktere, Chern-Simons-Theorie und geometrische String-StrukturenChristian Becker{tex}
Sei $G$ eine kompakte Liegruppe und $P \to M$ ein $G$-Hauptfaserb\"undel mit Zusammenhang. Sei ferner $u \in H^*(BG,\mathbb Z)$ eine universelle charakteristische Klasse und $\lambda$ ein zugeh\"origes invariantes Polynom. Der Differentialcharakter zu $(u,\lambda)$ besitzt eine kanonische Verfeinerung zu einem relativen Differentialcharakter, dessen kovariante Ableitung die Chern-Simons-Form zu $\lambda$ ist.
Im Fall $u=0$ erh\"alt man daraus neue Differentialcharaktere auf $P$. Diese lassen sich als geometrische Verfeinerungen der Chern-Simons-Form verstehen. Im Fall $u = \frac{1}{2} p_1 \in H^4(B\mathrm{Spin}(n))$ z.B. erh\"alt man die geometrischen String-Strukturen.
{/tex}
30.06.11Wärmeleitung auf metrischen GraphenOlaf PostIm Vortrag möchte ich eine kurze Einführung in Laplace-Operatoren auf metrischen Graphen geben, sowie einen Überblick über bekannte Resultate zur Wärmeleitungsgleichung in dieser Situation.
07.07.11SpingeometrieChristian BärTBA
14.07.11SpingeometrieChristian BärTBA
21.97.11Torsionsfreie Cartan-GeometrienGregor WeingartIm Rahmen von torsionsfreien Cartan-Geometrien lassen ganz unterschiedliche geometrische Strukturen wie z.B. konforme und projektive Geometrie oder schache G2-Geometrie beschreiben. Dieser Vortrag gibt eine Einführung in die Cartan-Geometrien und ihre Deformationstheorie.

Erforderliche Vorkenntnisse:

Differentialgeometrie