Seminar Geometrie: Harmonische Abbildungen

Christian Bär

Sommersemester 2009

In diesem Seminar werden wir uns mit harmonischen Abbildungen zwischen riemannschen Mannigfaltigkeiten befassen. Ist die Ausgangsmannigfaltigkeit eindimensional, so sind die harmonischen Abbildungen nichts anderes als Geodätische. Für zweidimensionale Ausgangsmannigfaltigkeiten hängen harmonische Abbildungen eng mit Minimalflächen zusammen. Allgemein sind harmonische Abbildungen über ein geometrisches Variationsproblem definiert, das in der theoretischen Physik auch als nichtlineares {tex}$\sigma${/tex}-Modell bekannt ist. Sie haben zahlreiche geometrische Anwendungen.

Wann:

Mittwoch, 15:15-16:45. Erste Sitzung mit Vorstellung und Verteilung der Vorträge am 22.04.2009.

Wo:

Haus 8, Raum 0.53

Seminarplan (Vorträge):

Datum Vortrag Referent Inhalt
22.04.09Vorstellung des Themas und Vergabe der VorträgeChristian BärDas Thema des Seminars wird erläutert und die Vorträge auf die Interessenten verteilt. Die Teilnahme ist unverbindlich und verpflichtet nicht zur Übernahme eines Vortrags.
29.04.09Minimale UntermannigfaltigkeitenPeter GrabsEinführung in minimale Untermannigfaltigkeiten nach [Jost, 164-176]. Der Beweis der Gauß-Gleichungen (Thm. 3.6.2) kann bei Zeitknappheit weggelassen werden.
06.05.09Harmonische Abbildungen-GrundlagenClaudia GrabsEntwicklung der Grundbegriffe: Energie von Abbildungen, zugehörige Euler-Lagrange-Gleichung, (schwache) harmonische Abbildungen, Spannungsfeld [Jost, 393-400]
13.05.09Die Bochner-TechnikImmanuel AsmusUntersuchung der zweiten Ableitung der Energie und Anwendungen. [Jost, 400-408]
20.05.09Energieminimierer in HomotopieklassenFrank PfäffleEinführung der Begriffe Homotopie, Homotopieklassen, Fundamentalgruppen [Urakawa, 78-79]. Hier sind Vorkenntnisse aus der Topologie ratsam. Diskussion von Beispielen, bei denen man in einer gegebenen nichttrivialen Homotopieklasse trotzdem Abbildungen mit beliebig kleiner Energie finden kann [Gromov-Pansu, 114-115]. Die Rechnungen dazu müssen selbst ausgeführt werden. Diese Beispiele zeigen, dass man nicht immer harmonische Abbildungen dadurch konstruieren kann, dass man eine Folge von Abbildungen wählt, deren Energie gegen das Infimum konvergiert, und dabei zu einer konvergenten Teilfolge übergeht.
27.05.09Energie für Abbildungen niederer RegularitätTobias JürgensDer Existenznachweis für harmonische Abbildungen erfordert das Konzept von Energie für Abbildungen, die man zunächst nicht differenzieren kann. Dazu führt man geeignete Approximationen der Energie ein [Jost, 412-419 Mitte].
03.06.09Gamma-KonvergenzVolker BrandingDie Approximationen aus dem vorangegangen Vortrag werden mit einem allgemeinen Konzept der Variationsrechnung, der Gamma-Konvergenz von Funktionalen nach Giorgi, in Verbindung gebracht [Jost, 419-422].
10.06.09RegularitätstheorieChristoph StephanZiel ist der folgende Regularitätssatz für harmonische Abbildungen: Jede stetige schwach-harmonische Abbildung zwischen riemannschen Mannigfaltigkeiten ist glatt [Jost 422-433]. Erfahrung mit Analysis ist hier nützlich. Aus Zeitgründen können eventuell nicht alle Rechnungen im Detail vorgeführt werden.
17.06.09Krümmung und Existenz von EnergieminimierernFlorian HanischSind die Mannigfaltigkeiten kompakt und hat die Zielmannigfaltigkeit Schnittkrümmung ≤ 0, so gibt es in jeder gegeben Homotopieklasse eine Abbildung minimaler Energie [Jost 433-439].
24.06.09Eindeutigkeit von EnergieminimierernChristian BeckerEs werden Eindeutigkeitsaussagen für die Energieminimierer aus dem vorangegangenen Vortrag hergeleitet. Als Anwendung erhält man Preissmanns Theorem, das eine Aussage über die Fundamentalgruppe kompakter Mannigfaltigkeiten mit Schnittkrümmung ≤ 0 macht [Jost, 459-561].
15.07.09Harmonische Abbildungen auf Flächen IHorst WendlandVon nun an beschränken wir uns auf harmonische Abbildungen, die auf Flächen definiert sind. Die Verbindung zu holomorphen quadratischen Differentialen wird hergestellt. Dies liefert Aussagen im Fall, dass die harmonische Abbildung auf einer 2-Sphäre definiert ist [Jost, 469-476 (Thm. 8.1.2)].
22.07.09Harmonische Abbildungen auf Flächen IISteffen Fröhlich[Jost, 476-482]

Semester (empfohlen):

ab 6. Semester

Modulnummer:

631, 661

Erforderliche Vorkenntnisse:

Solide Kenntnisse in Differentialgeometrie und keine Scheu vor Analysis

Literatur:

  1. M. Gromov, P. Pansu: Rigidity of lattices: An introduction, in Springer Lecture Notes in Mathematics 1504, 1991
  2. J. Jost: Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 5. Aufl., Springer 2008
  3. S. Nishikawa: Variational Problems in Geometry, AMS 2002
  4. H. Urakawa: Calculus of Variations and Harmonic Maps, AMS 1993