Forschungsseminar Differentialgeometrie

Christian Bär

Sommersemester 2009

In diesem Seminar werden aktuelle Themen aus der Forschung in der Differentialgeometrie und ihren Nachbargebieten besprochen. Interessenten sind herzlich willkommen.

Wann:

Montags, 15:15-16:45

Wo:

Haus 8, Raum 0.53

Seminarplan (Vorträge):

Datum Vortrag Referent Inhalt
20.04.09Dirac-harmonische AbbildungenVolker BrandingIn diesem Vortrag wird in das Konzept der Dirac-harmonischen Abbildungen eingeführt. Dazu wird zunächst die geometrische Grundstruktur vorgestellt, anschließend sollen geometrische und analytische Eigenschaften von Dirac-harmonischen Abbildungen, insbesondere auch deren Regularität, diskutiert werden.
27.04.09Dirac-harmonische Abbildungen, Teil 2Volker BrandingFortsetzung des Vortrags vom 20.4.2009
04.05.09Über rotationssymmetrische Minimierer des Willmore-ProblemsSteffen FröhlichIn diesem Vortrag stellen wir differentialgeometrische und funktionalanalytische Konzepte zur Lösung des Dirichlet-Problems für die Willmore-Gleichung im Falle rotationssymmetrischer Flächen mit symmetrischen Randdaten vor. Die so konstruierten Immersionen sind Minimierer des zugehörigen Willmore-Problems.
11.05.09Invertierbarkeit von Schrödinger-Operatoren mit teilweise negativem PotentialAusgehend von der Arbeit "manifolds with wells of negative curvature" von K.D. Elworthy und S. Rosenberg wird die Invertierbarkeit von Schrödinger-Operatoren mit teilweise negativem Potential untersucht.
25.05.09QCD und Dirac-EigenwerteChristoph StephanTBA
08.06.09Energie von KnotenChristian KarschVortrag über den Stand der Diplomarbeit
15.06.09On the spectrum of Martin-Morales-Nadirashvili minimal surfacesG. Pacelli Bessa (Universidade Federal do Ceara, Brasilien)We show that the spectrum of the Laplacian of a complete submanifold M properly immersed in a ball of a Riemannian manifold N is discrete, provided the mean curvature vector is sufficiently small. In particular, complete Martin-Morales-Nadirashvili minimal surfaces properly immersed in balls of {tex}$\mathbb{R}^3${/tex} have discrete spectrum.
22.06.09Coulomb-Frames im Normalenbündel von Flächen ISteffen Fröhlich(gemeinsame Arbeit mit Frank Müller) Wir betrachten zweidimensionale Immersionen vom Typ der Kreisscheibe in Euklidischen Räumen {tex}$\mathbb{R}^{n+2}${/tex} höherer Dimension {tex}$n+2${/tex}. Ausgehend von einem auf der gesamten Fläche definierten Normalenframe, welches das Normalenbündel der Fläche glatt aufspannt, konstruieren wir ein spezielles Frame, welches kritisch für ein "Funktional der Gesamttorsion" ist. Kritische Punkte dieses Funktionals heißen "Coulomb-Frames". Diese verallgemeinern auf natürliche Weise das Konzept "paralleler Frames" für den Fall, dass eine nichtverschwindende Krümmung des Normalenbündels kein global definiertes paralleles Frame zulässt. In den Vorträgen präsentieren wir detailliert differentialgeometrische und analytische Methoden zur Konstruktion solcher Coulomb-Frames. Insbesondere diskutieren wir folgende Fälle: (1) Kurven im {tex}$\mathbb{R}^3${/tex}, (2) Flächen im {tex}$\mathbb{R}^4${/tex}, (3) Flächen im {tex}$\mathbb{R}^5${/tex} und schließlich (4) Flächen im {tex}$\mathbb{R}^{n+2}${/tex}. "Torsionen" im Zusammenhang mit Normalenframes von Immersionen wurden 1922 von Hermann Weyl eingeführt im Zusammenhang mit einem Beweis eines verallgemeinerten Fundamentalsatzes der Flächentheorie. Unsere Untersuchungen sind motiviert aus speziellen Problemen der klassischen Differentialgeometrie und Analysis, und sie sind zum großen Teil bekannten Methoden der Harmonischen Analysis verwandt. Verschiedene Anwendungen finden sich und sollen zukünftig angegangen werden in der Differentialgeometrie und Physik: Paralleltransport von Frames entlang Geodätischer sowie entsprechende höherdimensionale Verallgemeinerungen, Parallelverschiebung von Flächen im Raum, Krümmungsabschätzungen für Immersionen mit einer ihrem Normalenbündel vorgeschriebenen Geometrie, Mittlerer-Krümmungsfluss in höheren Kodimensionen, aber auch im Dirac'schen Sinne spezielle Probleme der Quantenmechanik von auf gekrümmten Flächen gebundenen Teilchen.
29.06.09Coulomb-Frames im Normalenbündel von Flächen IISteffen FröhlichFortsetzung
06.07.09Stochastische Vollständigkeit und VolumenwachstumChristian BärEs handelt sich um gemeinsame Resultate mit P. Bessa. Wir zeigen durch Gegenbeispiel, dass eine Vermutung von Grigor'yan nicht gilt. Diese Vermutung besagt, dass für eine geodätisch vollständige riemannsche Mannigfaltigkeit aus der Volumenwachstumsbedingung {tex}$$ \int^\infty \frac{\mathrm{vol}B(x,r)}{\mathrm{vol}\partial B(x,r)} dr = \infty$${/tex} für ein {tex}$x \in M${/tex} folgt, dass M stochastisch vollständig ist.
13.07.09Der Newtonsche Limes und die Rahmentheorie von Jürgen EhlersCarla CederbaumDie Newton'sche Gravitationstheorie wird üblicherweise als "Grenzfall" der Allgemeinen Relativitätstheorie von A. Einstein angesehen, obwohl zumindest auf formaler Ebene ein Vergleich der beiden Theorien nur schwer möglich ist. Hier setzt die Rahmentheorie von J. Ehlers an, die durch einen etwas allgemeineren Ansatz den Theorienvergleich auf formaler Ebene ermöglicht. Im Vortrag soll nach einer Einführung in die Ehlers'sche Rahmentheorie das Konzept des Newton'schen Limes präzisiert, illustriert und in einen größeren Kontext eingebettet werden. Im Anschluss werden Ansätze für eine Variationsformulierung vorgestellt.
20.07.09Eindeutigkeit von Geodätischen in HomotopieklassenAls Ergänzung zum Seminar über harmonische Abbildungen soll folgendes Resultat besprochen werden: Gegeben sei eine vollständige riemannsche Mannigfaltigkeit mit nicht-positiver Schnittkrümmung, dann gibt es in jeder Homotopieklasse von Kurven mit festen Endpunkten genau eine Geodätische (die dann auch innerhalb der Homotopieklasse die Energie minimiert). Dafür gibt es zwei Beweise: Man kann die Aussage direkt mit dem Satz von Cartan-Hadamard folgern. Alternativ kann man wie im Buch "Geometric Analysis" von Jost das Energiefunktional auf der Hilbertmannigfaltigkeit von {tex}$H^{1,2}${/tex}-Wegen (mit festen Endpunkten) untersuchen und mit einem Mountain-Pass-Theorem argumentieren.