Blockseminar "Optimaler Transport"

Organisatoren: Christian Bär, Bernhard Hanke, Thomas Schick

Das Blockseminar zum Thema "Optimaler Transport" fand vom 4.-8. Juni 2012 an der Akademie für Politische Bildung in Tutzing am Starnberger See statt. Anreise war Montag bis 18:00 Uhr. Dann gab es Abendessen und anschließend einen einführenden Vortrag. Abreise war Freitag nach dem Mittagessen. Hier das Gruppenfoto.

Optimaler Transport ist ursprünglich ein (auf Monge und Kantorovich zurückgehendes) klassisches Problem, das ausgeht von einer gegebenen Anfangsverteilung und einer gewünschten Endverteilung (von irgendetwas) und nach dem günstigsten Transport sucht, bei dem die Anfangs- in die Endverteilung überführt wird. Hieraus hat sich eine lebendige Theorie mit zahlreichen Bezügen zu Analysis, Geometrie, Physik und Ökonomie entwickelt. Im Blockseminar werden die Grundlagen entwickelt und einige Anwendungen besprochen. Die beiden letzten Vorträge haben Übersichtscharakter und erfordern von den Sprechern etwas mehr Erfahrung.

Jeder Vortrag dauerte ca. 50 Minuten plus Diskussion. Aus Ermangelung einer Tafel wurden die Vorträge mit zwei Overheadprojektoren gehalten. Ganz wichtig war hierbei, dass die Folien nicht vorbereitet mitgebracht wurden, sondern, wie an einer Tafel, während des Vortrags live beschrieben wurden.

Das Vortragsprogramm sah im Einzelnen wie folgt aus:

  1. 4.6., 20:00 Uhr, Thomas Schick:
    Einführung
  2. 5.6., 9:00 Uhr, Matthias Ludewig:
    Kantorovich-Dualität I
    (Konzepte einführen, Formulierung und formaler Beweis [V1, 1.1.5] des Dualitätssatzes [V1, Theorem 1.3])
  3. 5.6., 10:15 Uhr, Jonathan Bowden:
    Kantorovich-Dualität II
    (rigoroser Beweis von [V1,Theorem 1.3])
  4. 5.6, 11:30 Uhr, Markus Upmeier:
    Varianten der Kantorovich-Dualität, erste Anwendungen auf optimalen Transport
    (Sätze von Kantorovich-Rubinstein, Strassen [V1, 1.4]; Fokus auf [V1, 2.1.1, 2.1.2] und die Formulierung von [V1, Thm. 2.9])
  5. 5.6., 16:00 Uhr, Alexander Engel:
    Ausflug in die konvexe Geometrie
    (einige Konzepte der Analysis konvexer Funktionen einführen, als Werkzeug für optimalen Transport
    [V1, 2.1.3])
  6. 5.6., 17:15 Uhr, Christopher Wulff:
    Knott-Smith-Theorem
    (optimaler Transport ist auf dem (Sub-)Gradienten einer (c-)konvexen Funktion getragen [V1, 2.12], Rest von [V1, 2.1.4, 2.1.5])
  7. 6.6., 9:00 Uhr, Claudia Grabs:
    Optimaler Transport auf der Geraden und Rockafellar's Theorem
    (Teil 1: [V1, 2.2]; Teil 2: "zyklische Monotonie'' als geometrisches Werkzeug zur Charakterisierung von Lösungen des optimalen Transport-Problems [V1, 2.27] und Korollare [V1, 2.3])
  8. 6.6., 10:15 Uhr, Moritz Wiethaup:
    Breniers Theorem
    ([V1, 2.12], benutzt Satz von Rademacher über Differenzierbarkeit (f.ü.) von konvexen Funktionen, Stabilität der Transport-Abbildung unter Konvergenz der Zielmaße [V2, 5.20, 5.23])
  9. 6.6., 11:30 Uhr, Bernadette Lessel:
    Optimaler Transport auf riemannschen Mannigfaltigkeiten
    ([V1, 2.4.5], Teile von [V2, Section 10], Hauptresultat [V1, Theorem 2.47] bzw. [V2, Theorem 10.41],[M])
  10. 7.6., 9:00 Uhr, David Hansen:
    Verschiebungs-Interpolation
    (beziehe mit ein, wie die Masse bewegt wird, nicht nur die Anfangs- und Endverteilung [V1, 5.1], Verschiebungs-Konvexität einführen [V1, 5.2.1])
  11. 7.6., 10:15 Uhr, Andreas Ott:
    Verschiebungs-Konvexität
    (Verschiebungs-Konvexität impliziert Konvexität wichtiger Funktionale [V1, 5.2, 5.3], Anwendung auf Polar-Zerlegung erwähnen [V1, 3.4])
  12. 7.6., 11:30 Uhr, Ariane Beier:
    Geometrische Ungleichungen
    (Brunn-Minkowski-Ungleichung und Verallgemeinerungen via optimalem Transport [V1, 6.1])
  13. 7.6., 16:00 Uhr, Max Lewandowski:
    Optimale Young-Ungleichung für die Lr-Norm einer Faltung
    ([V1, 6.3])
  14. 7.6., 17:15 Uhr, Ramona Ziese:
    Sobolev-Ungleichungen
    (optimale Sobolev-Ungleichung via optimalem Transport [V1, 6.4])
  15. 8.6., 9:00 Uhr, Jan Swoboda:
    Wasserstein-Räume
    (Wasserstein-Metrik auf Raum von Maßen einführen, Vollständigkeit und Separabiltät [TOT, Theorem 7.3], Topologie in Termen schwacher Konvergenz und Konvergenz der Momente charakterisieren [V1, Theorem 7.12])
  16. 8.6., 10:15 Uhr, Klaus Kröncke:
    Optimaler Transport und Ricci-Krümmung: Ein Überblick I
    (Metrische Maß-Räume, Konsequenzen von Ricci-Schranken für optimalen Transport, synthetische Definition von Ricci-Schranken, Räume vom Typ CD(K,N), [LV, Theorem 5.19], [S, Theorem 4.20], [V1, 27-30])
  17. 8.6., 11:30 Uhr, Olaf Müller:
    Optimaler Transport und Ricci-Krümmung: Ein Überblick II

Literatur:

  • [LV] Lott, John und Villani, Cedric: Ricci curvature for metric-measure spaces via optimal transport, Ann. of Math. (Ser. 2) 169 (2009), 903-991
  • [M] McCann, Robert: Polar factorization of maps on Riemannian manifolds, GAFA 11 (2001), 589-608
  • [S] Sturm, Karl-Theodor: On the geometry of metric measure spaces. I, Acta Math. 196 (2006), 65-131
  • [V1] Villani, Cedric: Topics in optimal transportation, Graduate Studies in Mathematics 58, American Mathematical Society, Providence, 2003
  • [V2] Villani, Cedric: Optimal transport - Old and New, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 338, Springer-Verlag, Berlin, 2009

Das Blockseminar wurde unterstützt durch