Diese Veranstaltung ist eine Fortsetzung der Analysis I. Inhalte sind die Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen, der Umkehrsatz und der Satz über implizite Funktionen. Desweiteren werden lineare Differentialgleichungen und Grundlagen der Vektoranalysis besprochen.

Diese Vorlesung setzt die entsprechende Vorlesung aus dem vergangenen Wintersemester fort. Zum Inhalt der Vorlesung gehören unter anderem Determinanten, Eigenwertprobleme, Mormalformen, Quadriken, Kegelschnitt und Projektive Geometrie. Skripte zur Vorlesung stehen unter: www.math.uni-potsdam.de/professuren/algebra-und-zahlentheorie/lehre/ oder auf der Homepage der Professur zur Verfügung

Inhalt dieser Vorlesung ist insbesondere der Aufbau des Zahlensystems aus algebraischer und zahlentheoretischer Sicht. Dazu müssen zunächst die hierfür notwendigen algebraischen und zahlentheoretischen Grundlagen vermittelt werden. Konkret behandelt die Lehrveranstaltung dabei folgende Themen: Gruppen, Ringe, Körper und ihre Homomorphismen, Homomorphiesätze, Euklidische Ringe, die Teilertheorie in Euklidischen Ringen, der Chinesische Restsatz, das Rechnen modulo $n$, die Eulersche Phi-Funktion, die Peano-Axiome, Quotientenkörper, Matrizenringe und Diagonalisierbarkeit, der Körper der reellen Zahlen und ihre g-adischen Darstellungen.

Die Vorlesung umfasst folgende Inhalte:

1. Funktionentheorie: Cauchy Integralsatz und Residuenkalkül
2. Vektoranalysis: Mannigfaltigkeiten, Differentialformen, der Satz von Stokes

In dieser Veranstaltung werden nach einer kurzen Einführung mathematische Probleme aus den Gebieten der Analysis, der linearen Algebra, der Kombinatorik und der Geometrie von den Studierenden selbständig gelöst. Dabei werden Die Lösungen werden schriftlich ausgearbeitet und in einem Vortrag präsentiert.

Die Veranstaltung findet während des Semesters 4-stündig statt. Die restlichen 2 SWS werden in Form einer einwöchigen Blockveranstaltung in der vorlesungsfreien Zeit angeboten.

Aufbauend auf der Lehrveranstaltung Numerik I werden folgende Themen behandelt:

1. Nichtlineare Gleichungen,
2. Einschrittverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen: explizite und implizite Runge-Kutta Verfahren,
3. Ordnungs- und Stabilitätsbegriffe,
4. Mehrschrittverfahren,
5. Schrittweitensteuerung

1. M. Hanke-Bourgeois, Grundlagen der numerischen Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens, Teubner-Verlag
2. H.R. Schwarz, N. Köckler, Numerische Mathematik, Teubner Verlag
3. P. Deuflhard, F. Bornemann, Numerische Mathematik 2: Gewöhnliche Differentialgleichungen, de Gruyter-Verlag
4. E. Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, Band I und II

Der erste Teil des Moduls Computermathematik gibt eine Einführung in die Theorie diskreter Algorithmen mit besonderem Augenmerk auf die Verknu\"pfung von theoretischen Aussagen und praktischen Implementierungen. Dazu wird in die Bedienung fachspezifischer Software eingeführt. Die zu behandelnden diskreten Algorithmen werden eine repräsentative Auswahl aus z.B. Sortierverfahren, Verfahren der linearen Programmierung und/oder Algorithmen auf Graphen umfassen. Anhand konkreter praktischer Beispiele sollen diese Algorithmen implementiert und erprobt werden.

weitere Informationen: Uni-Moodle, Kurs "Computermathematik I: Algorithmik SS19"

Die Vorlesung behandelt Begriffe und Konzepte der euklidischen, sphärischen und hyperbolischen Geometrie. In diesen drei klassischen metrischen Geometrien werden u.a. die Sätze der Trigonometrie und Aussagen über die jeweiligen Isometriegruppen bereitgestellt. Im Abschnitt über euklidische Geometrie werden abschließ end die Kurven zweiter Ordnung behandelt. In der sphärischen Geometrie werden Anwendungen in der Kartographie aufgezeigt, und die hyperbolische Geometrie endet mit einem Abschnitt über verschiedene Modelle der hyperbolischen Ebene.

1. C. Bär: Elementargeometrie, Skript, Universität Potsdam 2008
2. H. Scheid, W. Schwarz: Elemente der Geometrie, 4. Auflage, Spektrum 2016
3. I. Agricola, T. Friedrich: Elementargeometrie, 4. Auflage, Springer 2015

Diese Veranstaltung behandelt grundlegende Problemstellungen der statistischen Inferenz, wobei es um die Aneignung statistischer Denk- und Schlussweisen geht. Im Mittelpunkt stehen Fragen der Modellbildung und allgemeine Prinzipien des Schätzens und Testens. Zur mathematischen Begründung der vorgestellten Verfahren werden Begriffe zur Charakterisierung der Güte und Optimalität statistischer Entscheidungen eingeführt. Für Mono- und Lehramtsstudierende werden jeweils gesonderte Übungsaufgaben gestellt.

1. Literatur wird auf Moodle bekannt gegeben.
2. K. Siegrist, Random, web resource, http://www.randomservices.org/random/

Die Studierenden arbeiten sich in einen vorgegebenen mathematischen Test ein, tragen darüber vor und verfassen eine ausführliche Ausarbeitung in Form einer Projektarbeit. Neben der Aufbereitung mathematischer Texte unter Zuhilfenahme geeigneter Literatur erlernen die Studierenden die Strukturierung und Präsentation mathematischer Sachverhalte sowohl in mündlicher als auch in schriftlicher Form.

Diese Veranstaltung bietet eine Einführung in die Geometrische Maß theorie. Ziel ist es, erste Anwendungen auf geometrische Variationsprobleme zu besprechen. Exemplarisch sei die das Studium von Flächen mit minimalem Flächeninhalt und dem isoperimetrischen Problem genannt.

Ziel ist es, die Grundbegriffe von Rektifizierbarkeit und Varifaltigkeiten zu entwickeln und den Regularitätssatz von Allard zu beweisen.

Zum Besuch des Kurses ist der vorherige Besuch von Partielle Differentialgleichungen I nicht unbedingt erforderlich. Grundlagen aus der Analysis mehrerer Veränderlicher und der Ma\"ss theorie reichen aus.

Im Anschluss an diese Veranstaltung können weiterführende Themen in diesem Bereich als Bachelor- oder Masterarbeiten vergeben werden.

1. Mattila: Geometry of Sets & Measures Spaces: Fractals and Rectifiability, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 2008.
2. Simon: Lectures on Geometric Measure Theory, Proceedings of The Centre for Mathematical Analysis of the Australian National University, 1983.
3. Evans, Gariepy: Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press, 1992.
4. Giusti: Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation, Birkhäuser 1984
5. Weitere Literatur wird in der Vorlesung bekanntgegeben.

Mathematik in den alten Kulturen: Babylonier, Ägypter, Griechen; ausgewählte Etappen der Herausbildung der Analysis.

Dynamische Systeme sind mathematische Modelle für zeitabh{ängige Prozesse. Die Zeitentwicklung kann kontinuierlich oder diskret sein. Die Vorlesung soll dazu dienen, die wichtigsten Begriffe und Methoden aus diesem aktuellen Teilgebiet der Mathematik kennenzulernen. Die Theorie der dynamischen Systeme analysiert und charakterisiert das Verhalten f{ür große Zeiten (Gleichgewicht, periodische Bahn, Attraktor, Stabilit{ät, Chaos, usw.). Wir betrachten einerseits die strukturelle Stabilit{ät eines Systems gegen{über St{örungen und andererseits Verzweigungen (Bifurkationen) bei {Änderungen von Systemparametern. Wir werden sehen, wie durch globale Verzweigungen komplizierte Dynamik (``Chaos'') entstehen kann.

1. Nikolai Tarkhanov, Mathematik f{ür Physiker, Universit{ät Potsdam, 2002

Die Ergodentheorie hat sich ursprünglich aus der Statistischen Mechanik und der sogenannten Boltzmannschen Ergodenhypothese entwickelt. Von zentraler Bedeutung in der Ergodentheorie ist das durchschnittliche Langzeitverhalten eines dynamischen Systems. Ihr Durchbruch als mathematische Disziplin liegt in den Arbeiten von John von Neumanns und George Birkhoffs von 1931 begründet. Inzwischen findet die Ergodentheorie Anwendungen in sehr unterschiedlichen Gebieten der Mathematik wie z.B. in der Funktionalanalysis, Spektraltheorie, Zahlentheorie, Stochastik, Algebra und Harmonischen Analysis.

In dieser Vorlesung werden die Grundlagen der Ergodentheorie wie Ergodizität, Ergodensätze, dynamische Systeme, schwache und starke Mischung entwickelt.

Die Vorlesung richtet sich an interessierte Studenten der Mathematik mit soliden Vorkenntnissen in Analysis und Grundkenntnissen in der Maß theorie. Die Vorlesung wird von einem Seminar begleitet. Sie ist geeignet für ein fortgeschrittenes Bachelorstudium oder das Masterstudium.

Ergodic theory has its foundation in the statistical mechanics and the so called Boltzmann's Ergodic hypothesis. A central focus of ergodic theory lies in the study of the long-term average behavior of a dynamical system. It was established as a mathematical discipline due to the groundbreaking works of John von Neumann and George Birkhoff in 1931. Nowadays, ergodic theory plays a crucial role in various mathematical fields such as functional analysis, spectral theory, number theory, stochastic, algebra and harmonic analysis.

During this lecture we will learn the basics of ergodic theory such as ergodicity, ergodic theorems, dynamical systems, weak and strongly mixing systems.

It targets students in mathematics with a solid background in analysis and basic knowledge of measure theory. The lecture goes along with a seminar. It is suitable for advanced bachelor students and master students.

1. K. Petersen, Ergodic Theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1989.
2. T. Eisner, B. Farkas, M. Haase, R. Nagel, Operator Theoretic Aspects of Ergodic Theory, Graduate Texts in Mathematics, erscheint bei Springer-Verlag.
3. M. Einsiedler, T. Ward, Ergodic Theory with a view towards Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 259, Springer-Verlag London, Ltd., London, 2011.
4. H. Furstenberg, Recurrence in ergodic theory and combinatorial number theory, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1981.
5. T. Tao, Ergodic Theory, see http://terrytao.wordpress.com/category/254a-ergodic-theory/ or http://terrytao.wordpress.com/books/poincares-legacies-course-notes-expository-articles-and-lecture-series-from-a-mathematical-blog/.

This course aims at introducing the modern nonparametric techniques in statistical analysis. Statistical inference will be limited essentially to two models: density estimation and nonparametric regression models. The properties of classical nonparametric estimators such as kernel density estimators, local polynomial estimators and projection estimators will be recalled and an introduction to the minimax theory, model selection and adaptiveness will be provided. Finally, techniques to prove lower bounds in a minimax sense will be also presented.
The main idea of this course is to get students acquainted with the fundamentals, basic properties and use of the most important recent nonparametric techniques.
The lecture is supplemented by a 2 hours seminar with the same name.

1. E. Giné and R. Nickl, Mathematical foundations of infinite-dimensional statistical models, Cambridge University Press 2015.
2. A. B. Tsybakov, Introduction to Nonparametric Estimation, Springer 2009.

Symmetries, invariance, and conservation laws, are constraints which play a central role in formulating physical theories and models. In this course we shall focus on continuous symmetries described in terms of Lie group actions, in which case the correspondence between symmetries and conservation laws is given by Emmy Noether's theorem which was published a century ago. In quantum field theory, group actions arise in many disguises, only a few of which we will highlight in this course while focusing on the notion of anomaly. We also hope to touch on equivariant geometry and localisation techniques used in a supersymmetric setup. This 14 hrs course is only meant as a brief overview of different uses of group actions without going into the depths of each of them.

Contents

• Emmy Noether's theorem [9, 3]
  Lie groups and Lie algebras, Group actions and symmetries in physics
• From group actions to principle bundles
  Smooth free and proper actions on finite dimensional manifolds, Generalisation to Hilbert manifolds [11]
• The Faddeev-Popov procedure in quantum field theory [10]
  The Faddeev-Popov procedure in the path integral formalism, Anomalies [2], The Becchi-Rouet-Stora-Tseytlin procedure [7], The Batalin-Vilkovisky procedure [6, 5]
• Equivariant localisation [1, 4, 12]
  Stationary phase method, Duistermaat-Heckman localisation formula, Localisation formulas and group actions, Equivariant differential and BRST differential

1. A. Alekseev, Notes on equivariant localisation, ESI 1999 https://www.esi.ac.at/static/esiprpr/esi744.pdf
2. R. Bertlmann, Anomalies in Quantum Field Theory, Clarendon Press (2001)
3. M. Ba nados, I. Reyes, A short review on Noether's theorems, gauge symmetries and boundary terms https://arxiv.org/pdf/1601.03616.pdf (2017)
4. N. Berline, E. Getzler, M. Vergne, Heat Kernels and Dirac Operators, Springer Verlag (2004)
5. P. Clavier, V.Dang Nguyen, Batalin nVilkovisky Formalism as a Theory of Integration for Polyvectors, in Quantization, Geometry and Noncommutative Structures in Mathematics and Physics, Mathematical Physics Studies, Ed.: A. Cardona, P. Morales H.Ocampo, S.Paycha Andr\`Es. Reyes (2016)
6. D. Fiorenza, An introduction to the Batalin-Vilkovisky formalism (2008) https://arxiv.org/pdf/math/0402057.pdf
7. A. Fuster, M. Henneaux, A. Maas, BRST-antifield Quantization: a Short Review (2005) arXiv:hep-th/0506098
8. M. Henneaux, C.Teitelboim, Quantization of Gauge Systems, Princeton University Press 1994
9. E. Noether, Invariante Variationsprobleme (1918) https://de.wikisource.org/wiki/Invariante_Variationsprobleme
10. S. Paycha, The Faddeev-Popov Procedure and Application to Bosonic Strings: An Infinite Dimensional Point of View, Commun. Math. Phys. 147 (1992) 163-180
11. S. Paycha, Basic prerequisites in differential geometry and operator theory in view of applications to quantum field theory (Unpublished notes)
12. V. Pestun, Review of localization in geometry (2016)arXiv:1608.02954
13. V. Pestun et al, Localization techniques in quantum field theories (2016) https://arxiv.org/abs/1608.02952

In der Vorlesung Semi-Riemannsche Geometrie studieren wir gekrümmte Räume beliebiger Dimension. Wir definieren die Messung von Längen und Winkeln mit Hilfe von semi-riemannschen Metriken. Wir führen einen Ableitungsbegriff für Vektorfelder ein und studieren lokal kürzeste Verbindungen zwischen zwei Punkten, sogenannte Geodätische. Anschließ end behandeln wir verschiedene Krümmungsbegriffe. Es ergeben sich viele weitergehende Fragen: Inwiefern wird die Topologie einer riemannschen Mannigfaltigkeit durch ihre Krümmung bestimmt? Welche Auswirkungen hat die Krümmung auf analytische Fragen, etwa die Lösung der Laplace-Gleichung oder der Wärmeleitungsgleichung? Was sind grundlegende Eigenschaften von gekrümmten Raumzeiten in der allgemeinen Relativitätstheorie? Wir werden je nach Wunsch der Studierenden einige dieser Fragen diskutieren.

In the lecture course Semi-Riemannian Geometry we study curved spaces of arbitrary dimensions. We use semi-Riemannian metrics to define lenghts and angles. We introduce a covariant derivative for vector fields and we study the locally shortest curves between two points, the so-called geodesics. Then we discuss several notions of curvature. This leads to several more advanced topics: In which way is the topology of the manifold determined by its curvature? What is the effect of curvature concerning analytical questions such as the solution of the Laplace equation or the heat equation? What are basic properties of curved space-times in general relativity? We will study some of these questions depending on the preferences of the audience.

1. Bär: Differentialgeometrie, Skript, Potsdam 2013
2. O'Neill: Semi-Riemannian Geometry, Academic Press, New York 2002

The purpose of this course is to treat in details selected fundamentals of modern probability theory. The focus is in particular on limit theorems including the strong law of large numbers and Lindeberg's central limit theorem, and on discrete-time processes like martingales, as well as basic results on Brownian motion. Various examples will be considered.

The participant is assumed to have a reasonable grasp of basic probability, basic analysis and measure theory.

This lecture is appropriate for Master students or for advanced Bachelor students. It is a natural application/extension of the course "Functional Analysis I".

It is part of both profiles "Mathematical modelling and data analysis" and "Structures of Mathematics with physical background" in the course of studies Master of Science Mathematics.

The lecture also adresses to students of informatics and physics.

1. Durrett, R. Probability: theory and examples, Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics 2010

Machine learning is one of the fastest growing branches of modern data analysis. It deals with a broad spectrum of methodologies which aim to detect, extract, and process meaningful patterns in complex (usually high-dimensional and non-linear) data sets. As examples one may consider handwriting recognition, classification of DNA sequences, or time series forecasting. The goal of this course is to introduce widely-used methods of machine learning from mathematical point of view using approaches of statistical learning. The topics covered in the course are as follows: decision theory, linear classification, k-nearest neighbor algorithm, decision trees, neural networks, support vector machines, kernel methods, elements of Vapnik-Chervonenkis theory, Rademacher complexity and ensemble methods.

1. S.Shalev-Shwartz and S.Ben-David: Understanding Machine Learning: From Theory to Algorithms; published in 2014 by Cambridge University Press
2. M.Mohri, A. Rostamizadeh and A. Talwalkar: Foundations of Machine Learning (2d edition); published in 2018 by MIT Press

In dieser Vorlesung werden grundlegende zufällige Modelle präsentiert. Zunächst wird ein wichtiges Beispiel aus der statistischen Mechanik diskutiert: das Ising Modell. Anhand dieses Modells werden unter anderem die Begriffe Gibbsmaß{} und Phasenübergang eingeführt. Existenz- und Eindeutigkeitsergebnisse werden bewiesen. Am Ende der Vorlesung wird Dr. Houdebert eine Einsicht in die Perkolationstheorie geben. Diese Theorie aus der stochastischen Geometrie beschreibt das Ausbilden von zusammenhängenden Gebieten (Clustern) bei zufallsbedingtem Besetzen von Strukturen.

1. Friedli, S. and Velenik Y. Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017
2. Grimmett G. Percolation, Birkhäuser, 2000
3. Prum, T. and Fort, J.-C. Stochastic Processes on a Lattice and Gibbs Measures, Springer 1991

This lecture introduces parametric Bayesian inference (prior models, forward model, coupling of measures) and its applications. Computational methods, such as Monte Carlo methods, importance sampling, Markov Processes and MCMC, are also discussed, as well as stochastic processes. Special attention will be paid to the connection of mathematical models and data assimilation (state estimation, Kalman filter, particle filters, variational methods), also in the high-dimensional setting.

1. Sebastian Reich and Colin Cotter, Probabilistic Forecasting and Bayesian Data Assimilation, Cambridge University Press, 2015.
2. Kody Law, Andrew Stuart and Konstantinos Zygalakis, Data Assimilation - A Mathematical Introduction, Springer-Verlag, 2015

Stochastic processes play a key role in mathematics and many applied sciences. Example include eye moving during reading, locomotion of the social amoebae, biochemical reaction systems or spreading of diseases. The lecture gives an introduction to the important class of Markov processes in continuous and discrete time on discrete state spaces. Important concepts include recurrence/transience, invariant and stationary measures, reversibility and the strong law of large numbers, metastability, periodicity, master equation,

The lecture is part of the focus area 'applied mathematics: modelling and data analysis' (Profilrichtung 'Angewandte Mathematik: Modellierung und Datenanalyse').

1. Bremaud. Markov Chains: Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation, and Queues
2. Lasota and Mackey, Chaos, Fractals, and Noise, Springer, 1994.
3. Meyn and Tweedie. Markov Chains and Stochastic Stability. Springer, Berlin, 1993. Springer, New York, 1999.

The lecture gives an introduction the mathematical concepts, methods and approaches in modern systems biology. It focusses on the stochastic and deterministic formulation of biochemical reaction kinetics, illustrated in application to important biological signal transduction pathway and gene regulatory systems. Further topics include model order reduction of large-scale deterministic reaction systems and network motifs in gene regulatory networks.

1. Klipp et al, Systems Biology: A textbook, Wiley-Blackwell, 2009
2. Alon, An Introduction to Systems Biology. CRC Press, 2006

The course introduces physiologically based pharmacokinetic concepts and modeling approaches with relevance to and application in drug discovery and development. We focus on mathematical models of the key ADME processes adsorption, distribution, metabolism and excretion, including ionization and (linear/saturable) protein binding, first-order and transit compartment models of absorption, a priori prediction of tissue-to-blood partition coefficients, hepatic metabolism and bilary excretion. Furthermore, the course establishes the link between detailed physiological based pharmacokinetic models and simple 1-/2-compartment models commonly used in late stage clinical phases via mathematical model reduction techniques (lumping approach). Finally, we introduce concepts of variability in physiological and anatomical parameters, extrapolation techniques to different species as well as from adults to children, and consider models of drug-drug interaction.

The course also includes a guest lecture illustrating the application of physiologically based pharmacokinetic modeling in the pharmaceutical industry.

The course will cover the mathematical background of reinforcement learning and also focus on the different algorithmic approaches. In order to deepen the theoretical and computational aspects we will look at various examples from a range of applicational areas and the students will have the opportunity to implement the learned methods.

1. Abraham/ Marsden: Foundations of Mechanics, American Mathematical Society, 2008 Arnol'd: Mathematische Methoden der Klassischen Mechanik

siehe unter: www.math.uni-potsdam.de/ hols

Im Seminar werden geometrische Fragestellungen besprochen. Das genaue Vortragsprogramm wird auf der Webseite (URL siehe unten) noch bekanntgegeben.

Begriffsanalyse ist eine Anwendung der Verbandstheorie. Es geht hierbei um eine Form der effektiven Auswertung von Daten. Es werden die Grundbegriffe geklärt und kleine Datenmengen mit Hilfe der dargestellten Methode ausgewertet. Da die Darstellung in Begriffsverbänden sehr anschaulich ist, ist diese Methode auch für die Schule geeignet.

1. Formale Begriffsanalyse (ISBN 3-540-60868-0 3-540-60868-0)

Ausgehend von den komplexen Zahlen werden Möbius-Transformationen auf der komplexen Ebene und auf der Zahlenkugel betrachtet und ihre Eigenschaften untersucht. Mit diesen können wir überraschende Sätze der hyperbolischen Geometrie herleiten; z.B. sind ähnliche Dreiecke kongruent und ihre Innenwinkelsumme ist immer kleiner als 180.

In diesem Seminar werden Themen aus den Bereichen der Differentialgeometrie und der Allgemeinen Relativitätstheorie besprochen. Interessenten sind herzlich willkommen.

In diesem Seminar besprechen wir Resultate über hyperbolische partielle Differentialgleichungen.

Diese Veranstaltung findet an insgesamt vier Tagen des Semesters statt. Zwei der Termine finden an der Universität Potsdam, zwei an der Universität Hamburg statt. Bei Interesse bitte bei einem der Dozenten einen Termin zur Vorbesprechung vereinbaren.

Es werden Themen aus dem Grenzbereich zwischen Differentialgeometrie, mathematischer Physik und Analysis behandelt.

Das Seminar widmet sich aktuellen Forschungsergebnisse aus dem Gebiet der Statistik zeithabhängiger inverser Probleme und der Datenassimilation. Die Liste der Vortragenden wird auf der Webseite des Lehrstuhle für Numerische Mathematik bekannt gegeben.

Das Seminar behandelt aktuelle Forschungsergebnisse aus der Differentialgeometrie. Das genaue Vortragsprogramm wird auf der Webseite (URL siehe unten) noch bekannt gegeben.

Behandelt wird die Arbeit:

Helffer, B.; Martinez, A.; Robert, D. Ergodicit\`E et limite semi-classique. (French) [Ergodicity and the semiclassical limit] Comm. Math. Phys. 109 (1987), no. 2, 313 n326.

Mögliche Ausweitungen auf eine Klasse von Pseudodifferentialoperatoren auf einem skalierten Gitter sollen untersucht werden.

Das Seminar behandelt aktuelle Forschungsergebnisse aus der Theorie der Stochastischen Prozesse.

Die Vorlesung bietet eine Einführung in die Analysis in höheren Dimensionen mit dem Differentialkalkül und der Integrationstheorie an. Metrische und Euklidische Räume sowie zugehörige topologische Begriffe werden eingeführt. Die Vorlesung beruht auf dem Inhalt der Vorlesung Mathematik für Physiker I, wo der $1$-dimensionale Fall behandelt wurde. Neben dem Ziel, den wissenschaftlichen Stoff zu beherrschen hat diese Vorlesung den Sinn zu lernen, eigenständig Mathematik zu betreiben und sich mathematisches Wissen anzueignen und selbst umzusetzen.

1. Rainer Wüst: Höhere Mathematik für Physiker
2. Christian Blatter: Analysis 2
3. Serge Lang: Calculus of several variables
4. Klaus Jänich: Lineare Algebra, Mathematik für Physiker
5. Herbert Amann/Joachim Escher: Analysis II
6. Egbert Brieskorn: Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Es werden Begriffe der Wahrscheinlichkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit, Zufallsvariable und spezielle Verteilungen, Momente von Zufallsvariablen und Approximation von Verteilungen, das Likelihood-Prinzip, Konfidenzschätzer und statistisches Schätzen sowie Regression behandelt.

1. Reed/Simon: Modern Methods of Math.Physics I& II, Acad. Press
2. Sinai: Probability, Springer
3. Bobrovski: Functional Analysis for probability and Stochastic processes, Cambridge

Die Vorlesung schließt an den ersten Teil an und behandelt folgende Inhalte: Taylorreihen; Differentialrechnung von Funktionen in mehreren Veränderlichen: Grenzwerte, partielle Ableitungen, Richtungs- und totale Ableitung, Extremwertaufgaben; Quadratmittelapproximation; Koordinatensysteme: Polar-, Zylinder und Kugelkoordinaten; Partielle Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung: Beispiele, Klassifizierung, Produktansätze.

1. Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Vieweg und Teubner.
2. Meyberg, Vachenauer: Höhere Mathematik, Springer.

1. Vektoranalysis: Skalar- und Vektorfelder: Parameterdarstellungen, Ortskurven, Gradient, Rotation, Divergenz, Laplace-Operator. (2 Vorlesungen)

2. Mehrfachintegrale in verschiedenen Koordinatensystemen. (3 Vorlesungen)

3. Flächen im Raum, Kurven- und Oberflächenintegrale, Integralsätze von Gauß und Stokes. (3 Vorlesungen)

4. Laplace-Transformation im Reellen, Transformationssätze, Anwendung z.B. ODE. (1 Vorlesung)

5. Stetige Quadratmittelapproximation, Fourier-Reihen in reeller Schreibweise. (1 Vorlesung)

6. Fourier-Reihen in komplexer Schreibweise und Fourier-Transformation, Faltung, Anwendung: z.B. PDE und Zeitreihenanalyse. (3 Vorlesungen)

7. Spezielle Funktionen: orthogonale Polynome (z.B. Legendresche Polynome), Kugelfunktionen, Reihen-Entwicklung nach orthogonalen Polynomen bzw. nach Kugelflächenfunktionen, Anwendungen: z.B. Gravitationspotential. (2 Vorlesungen)

1. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 2, 3 und Übungsaufgaben, Vieweg Verlag.
2. Meyberg, Vachauer, Höhere Mathematik Band 1 und 2, Springer Verlag.
3. Sieber, Sebastian, Spezielle Funktionen, B.G. Teubner Verlag.
4. Butz, Fouriertransformation für Fußgänger, Teubner Verlag.

Die Vorlesung behandelt Grundbegriffe der linearen Algebra, wie z.B. Vekorräume, Matrizen & lineare Gleichungssysteme, Determinanten, Hauptachsentransformationen, Skalarprodukte und Singulärwerte.

Die Vorlesung behandelt Grundbegriffe vektorwertiger Funktionen, numerischer Approximationsverfahren und der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen.

The purpose of this course is to treat in details selected fundamentals of modern probability theory. The focus is in particular on random variables with density functions, limit theorems, discrete-time Markov processes as well as basic results on Brownian motion.

The participant is assumed to have a reasonable grasp of basic discrete probability theory and basic analysis. This lecture is appropriate for Master students in Data Science.

1. Durrett, R. Probability: theory and examples, Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics 2010