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\newcommand{\D}{\displaystyle}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\IR}{{\mathbb{R}}}
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\newcommand{\IZ}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\IF}{{\mathbb{F}}}
\newcommand{\IK}{{\mathbb{K}}}
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\newcommand{\IC}{{\mathbb{C}}}
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\newcommand{\IE}{{\mathbb{E}}}

\newcommand{\ep}{{\varepsilon}}
\newcommand{\ph}{{\varphi}}
\newcommand{\thet}{{\vartheta}}
\newcommand{\rh}{{\varrho}}
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\newcommand{\la}{{(}}
\newcommand{\ra}{{)}}
\newcommand{\Om}{{\Omega}}
\newcommand{\al}{{\alpha}}
\newcommand{\be}{{\beta}}
\newcommand{\ga}{{\gamma}}
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\newcommand{\wh}{{\widehat}}

\newcommand{\foh}{{\mathfrak{h}}}

\newcommand{\nach}{{\rightarrow}}
\newcommand{\Nach}{{\,\rightarrow\,}}
\newcommand{\Fou}{{\mathcal{F}}}
\newcommand{\sk}{{\,|\,}}

\def\be{\begin{eqnarray*}}
\def\ee{\end{eqnarray*}}
\def\bel{\begin{eqnarray}}
\def\eel{\end{eqnarray}}

\def\ex{\exists}
\def\all{\forall}

\def\a{\alpha}
\def\eh{\frac{1}{2}}
\def\A{\mathcal{A}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\N{\mathbb{N}}\def\NN{\mathbb{N}}
\def\E{\mathbb{E}}
\def\P{\mathbb{P}}
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\def\S{\mathcal{S}}
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\def\O{\mathcal{O}}
\def\e{\epsilon}
\def\ep{\tilde{\delta}}
\def\d{\delta}
\def\lm{\lambda}
\def\id{\mathbb{I}}
\def\Sp{\textrm{Sp}}
\def\lili{\lim\limits}
\def\nn{\nonumber}
\def\fa{\bigwedge\limits}
\def\one{1}
\def\chiop{\chi_{\{\delta>L\}}}
\def\eqiv{\Longleftrightarrow}
\def\lra{\longrightarrow}
\newcommand{\ab}[1]{\left( #1\right)}


%\newcommand{\cosh}{\mbox{cosh}}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{remarks}[theorem]{Remarks}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\begin{document}

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\begin{center}
\textbf{\large Mathematik für Wirtschaftsinformatik}
\end{center}
\textbf{Wintersemester 2015/2016\hfill Prof. Dr. M. Keller}

\rule{\textwidth}{0.3pt}

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%
% Hier geht's los
%
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\textbf{Blatt 6}\hfill % Nr des Blatts
\textbf{Abgabe 3.12.2015}

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\begin{itemize}
  \item[(1)] Sei $(G,*)$ eine Gruppe. Es gelte $g*g=e$ für alle $g\in G$. Zeigen Sie, dass $(G,*)$ abelsch ist. 

  
\item[(2)] Sei $(G,*)$ eine Gruppe. Zeigen Sie, dass die folgenden Gleichungen gelten und   geben Sie in jedem Schritt an,
welche Gruppeneigenschaften Sie verwenden:
\begin{itemize}
 \item [(a)] $(g*h)^{-1}=h^{-1}*g^{-1}$ für alle $g,h\in G$.
 \item [(b)] $e^{-1}=e$
 \item [(c)] $(g^{-1})^{-1}=g$ für alle $g\in G$.
\end{itemize}

\item[(3)] Betrachte  $\IZ_{17}$. Aus der Vorlesung ist bekannt, dass dies zusammen mit Addition und Multiplikation Modulo $17$ ein Körper ist.
Berechnen Sie jeweils das additive und multiplikative Inverse von $2 \operatorname{mod} 17$ und $10 \operatorname{mod} 17$. 


\item[(4)]  Sei die Menge $K$ mit Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ ein Körper. Zeigen Sie, dass die folgenden Gleichungen gelten und geben Sie in jedem Schritt an,
welche Körpereigenschaften Sie verwenden:
\begin{itemize}
\item [(a)] $-a=(-1)\cdot a$ für alle $a\in K$.
\item [(b)] $(-1)^{-1}=-1$.
\item [(c)] $(-a)^{-1}=-(a^{-1})$ für alle $a\in K\setminus\{0\}$.
\item [(d)] $a\cdot b^{-1}+c\cdot d^{-1}= (a\cdot d+c\cdot b)\cdot(b\cdot d)^{-1}$ für alle $a,c\in K, b,d\in K\setminus\{0\}$.
\end{itemize}


\end{itemize}

 

\end{document}
