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\newcommand{\D}{\displaystyle}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\IR}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\IN}{{\mathbb{N}}}
\newcommand{\IZ}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\IF}{{\mathbb{F}}}
\newcommand{\IK}{{\mathbb{K}}}
\newcommand{\IQ}{{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\IC}{{\mathbb{C}}}
\newcommand{\IP}{{\mathbb{P}}}
\newcommand{\IE}{{\mathbb{E}}}

\newcommand{\ep}{{\varepsilon}}
\newcommand{\ph}{{\varphi}}
\newcommand{\thet}{{\vartheta}}
\newcommand{\rh}{{\varrho}}
\newcommand{\de}{{\delta}}
\newcommand{\la}{{(}}
\newcommand{\ra}{{)}}
\newcommand{\Om}{{\Omega}}
\newcommand{\al}{{\alpha}}
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\newcommand{\ga}{{\gamma}}
\newcommand{\gwh}{{\widehat{\gamma}}}
\newcommand{\om}{{\omega}}
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\newcommand{\Ga}{{\Gamma}}
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\newcommand{\wh}{{\widehat}}

\newcommand{\foh}{{\mathfrak{h}}}

\newcommand{\nach}{{\rightarrow}}
\newcommand{\Nach}{{\,\rightarrow\,}}
\newcommand{\Fou}{{\mathcal{F}}}
\newcommand{\sk}{{\,|\,}}

\def\be{\begin{eqnarray*}}
\def\ee{\end{eqnarray*}}
\def\bel{\begin{eqnarray}}
\def\eel{\end{eqnarray}}

\def\ex{\exists}
\def\all{\forall}

\def\a{\alpha}
\def\eh{\frac{1}{2}}
\def\A{\mathcal{A}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\N{\mathbb{N}}\def\NN{\mathbb{N}}
\def\E{\mathbb{E}}
\def\P{\mathbb{P}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def\B{\mathcal{B}}
\def\F{\mathcal{F}}
\def\S{\mathcal{S}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\O{\mathcal{O}}
\def\e{\epsilon}
\def\ep{\tilde{\delta}}
\def\d{\delta}
\def\lm{\lambda}
\def\id{\mathbb{I}}
\def\Sp{\textrm{Sp}}
\def\lili{\lim\limits}
\def\nn{\nonumber}
\def\fa{\bigwedge\limits}
\def\one{1}
\def\chiop{\chi_{\{\delta>L\}}}
\def\eqiv{\Longleftrightarrow}
\def\lra{\longrightarrow}
\newcommand{\ab}[1]{\left( #1\right)}


%\newcommand{\cosh}{\mbox{cosh}}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{remarks}[theorem]{Remarks}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\begin{document}

\rule{\textwidth}{0.3pt}
\begin{center}
\textbf{\large Mathematik für Wirtschaftsinformatik}
\end{center}
\textbf{Wintersemester 2015/2016\hfill Prof. Dr. M. Keller}

\rule{\textwidth}{0.3pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Hier geht's los
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Blatt 5}\hfill % Nr des Blatts
\textbf{Abgabe 26.11.2015}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{itemize}
  \item [(1)] Konstruieren Sie Bijektionen zwischen:
  \begin{itemize}
   \item [(a)] Der Menge der geraden Zahlen aus $\IN$ und der Menge der ungeraden Zahlen aus $\IN$.
   \item [(b)] Den Mengen $\IN$ und $\IN_0$.
   \item [(c)] Der Menge $\{f:\{0,1\}\to\IN\}$ aller Funktionen von  $\{0,1\}$ nach  $\IN$ und der Menge $\IN\times\IN$.  
  \end{itemize}

  
\item[(2)] Sei $M\not=\emptyset$ eine Menge. Betrache die Menge  \[\operatorname{B}(M):=\{f:M\to M\mid f\text{ bijektiv}\}\] der bijektiven Abbildungen
von $M$ nach $M$. 
Zeigen Sie, dass $(\operatorname{B}(M),\circ)$ eine Gruppe ist, wobei $\circ$ die aus der Vorlesung bekannte Komposition von Abbildungen bezeichne.\\
Tipps: was ist $f\circ \operatorname{id}_M$? Nutzen Sie zudem die Charakterisierung von Bijektivität mittels Umkehrfunktionen.
\end{itemize}

 Sei auf $\N\times\N$ die Äquivalenzrelation
\begin{align*}
    (k,l)\sim (m,n)\quad:\Longleftrightarrow \quad k\cdot n=l\cdot m
\end{align*}
gegeben (siehe Blatt 3).
Für $(m,n)\in\N\times\N$ bezeichne von nun an $[(m,n)]$ die
Äquivalenzklasse dieser Äquivalenzrelation.
\begin{itemize}

\item[(3)]  Zeigen Sie, dass
die durch
\begin{align*}
&[(k,l)]+[(m,n)]:=[(k\cdot n+l\cdot m,l\cdot n)]\quad\mbox{und}\\
&[(k,l)]\cdot[(m,n)]:=[(k\cdot m,l\cdot n)]
\end{align*}
definierte Addition und Multiplikation wohldefiniert sind, d.h.
nicht von der Wahl der Repräsentanten $(k,l)$ und $(m,n)$ abhängen.

\newpage
\item[(4)] Sei $K=\{[(m,n)]\mid (m,n)\in\N \times \N\}$. Zeigen Sie,
dass $(K,\cdot)$ eine Gruppe ist.



\end{itemize}

\textbf{Zusatzaufgaben}
\begin{itemize}
 \item [(Z1)] 
Sei $M\not=\emptyset$ eine Menge. Betrache die Menge  \[\operatorname{F}(M):=\{f:M\to M\}\] aller Funktionen von $M$ nach $M$. 
Zeigen Sie, dass $(\operatorname{F}(M),\circ)$ eine Halbgruppe, aber im Allgemeinen keine Gruppe ist, wobei $\circ$ die aus der Vorlesung bekannte Komposition von 
 Abbildungen sei.
 \item[(Z2)] Charakterisieren Sie, unter welchen Bedingungen die Gruppe $(\operatorname{B}(M),\circ)$ aus Aufgabe 2 abelsch ist. 



\end{itemize}

 

\end{document}
