
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{ngerman}
%\usepackage{fleqn}
\usepackage{array}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
%\usepackage{mathbbol}
\usepackage{amstext}
%\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{relsize}
%\usepackage{epic}
\usepackage{graphics}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{makeidx}\usepackage{german}
\usepackage{textcomp}


\newcommand{\D}{\displaystyle}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\IR}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\IN}{{\mathbb{N}}}
\newcommand{\IZ}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\IF}{{\mathbb{F}}}
\newcommand{\IK}{{\mathbb{K}}}
\newcommand{\IQ}{{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\IC}{{\mathbb{C}}}
\newcommand{\IP}{{\mathbb{P}}}
\newcommand{\IE}{{\mathbb{E}}}

\newcommand{\ep}{{\varepsilon}}
\newcommand{\ph}{{\varphi}}
\newcommand{\thet}{{\vartheta}}
\newcommand{\rh}{{\varrho}}
\newcommand{\de}{{\delta}}
\newcommand{\la}{{(}}
\newcommand{\ra}{{)}}
\newcommand{\Om}{{\Omega}}
\newcommand{\al}{{\alpha}}
\newcommand{\be}{{\beta}}
\newcommand{\ga}{{\gamma}}
\newcommand{\gwh}{{\widehat{\gamma}}}
\newcommand{\om}{{\omega}}
\newcommand{\La}{{\Lambda}}
\newcommand{\Ga}{{\Gamma}}
\newcommand{\De}{{\Delta}}
\newcommand{\wh}{{\widehat}}

\newcommand{\foh}{{\mathfrak{h}}}

\newcommand{\nach}{{\rightarrow}}
\newcommand{\Nach}{{\,\rightarrow\,}}
\newcommand{\Fou}{{\mathcal{F}}}
\newcommand{\sk}{{\,|\,}}

\def\be{\begin{eqnarray*}}
\def\ee{\end{eqnarray*}}
\def\bel{\begin{eqnarray}}
\def\eel{\end{eqnarray}}

\def\ex{\exists}
\def\all{\forall}

\def\a{\alpha}
\def\eh{\frac{1}{2}}
\def\A{\mathcal{A}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\N{\mathbb{N}}\def\NN{\mathbb{N}}
\def\E{\mathbb{E}}
\def\P{\mathbb{P}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def\B{\mathcal{B}}
\def\F{\mathcal{F}}
\def\S{\mathcal{S}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\O{\mathcal{O}}
\def\e{\epsilon}
\def\ep{\tilde{\delta}}
\def\d{\delta}
\def\lm{\lambda}
\def\id{\mathbb{I}}
\def\Sp{\textrm{Sp}}
\def\lili{\lim\limits}
\def\nn{\nonumber}
\def\fa{\bigwedge\limits}
\def\one{1}
\def\chiop{\chi_{\{\delta>L\}}}
\def\eqiv{\Longleftrightarrow}
\def\lra{\longrightarrow}
\newcommand{\ab}[1]{\left( #1\right)}


%\newcommand{\cosh}{\mbox{cosh}}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{remarks}[theorem]{Remarks}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\addtolength{\voffset}{-15pt} \addtolength{\textheight}{-10pt}
%\addtolength{\textheight}{-11pt} \addtolength{\headsep}{6pt}

\setlength{\parskip}{10pt plus 2pt minus 1pt}
\setlength{\parindent}{0pt}
\newcommand{\wk}{\mbox{$\,<$\hspace{-5pt}\footnotesize )$\,$}}
\thispagestyle{empty} \addtolength{\voffset}{15pt}

\setlength{\textheight}{10in}

\begin{document}

\rule{\textwidth}{0.3pt}
\begin{center}
\textbf{\large Analysis auf Graphen}
\end{center}
\textbf{Wintersemester 2015/2016\hfill Prof. Dr. M. Keller}

\rule{\textwidth}{0.3pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Hier geht's los
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Blatt 9}\hfill % Nr des Blatts
\textbf{Abgabe 12.01.2016}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%







Sei $(b,c)$ ein Graph über $(X,\deg)$ mit
\begin{align*}
    \deg(x)=\sum_{y\in X}b(x,y)+c(x).
\end{align*}
Sei $P:\ell^{2}(X,\deg)\to\ell^{2}(X,\deg)$ ein Operator mit Matrix
$p:X\times X\to [0,\infty)$ gegeben durch
\begin{align*}
    p(x,y)=\frac{b(x,y)}{\deg(x)}
\end{align*}
d.h.
$$Pf(x)=\sum_{y\in X}p(x,y)f(y).$$
Sei weiterhin $p_{n}:X\times X\to[0,\infty)$ die Matrix der $n$-ten
Potenz $P^{n}=P\circ\ldots\circ P$ des Operators $P$. Sei
$Y=(Y_{n})$ die Markovkette die gegeben ist durch die
Übergangswahrscheinlichkeiten
\begin{align*}
    \mathbb{P}(Y_{n+1}=y\mid Y_{n}=x)=p(x,y),\quad x,y\in X.
\end{align*}


\begin{itemize}


\item[(1)]

Zeigen Sie, dass $P$ kontrahierend und selbstadjungiert  auf
$\ell^{2}(X,m)$ ist, d.h. für alle $f,g\in\ell^{2}(X,m)$
\begin{align*}
\|Pf\| \leq \|f\|\quad\mbox{and} \quad\langle{Pf},{g
}\rangle=\langle{f},{Pg }\rangle.
\end{align*}

\item[(2)] \begin{itemize}
  \item [(a)] Zeigen Sie
\begin{align*}
 \mathbb{P}(Y_{n}=y\mid Y_{0}=x)=p_{n}(x,y),\quad x,y\in X.
\end{align*}
  \item [(b)] Zeigen Sie, dass $(b,c)$ genau dann zusammenhängend ist falls für
alle $x,y\in X$ ein $n$ existiert, so dass $p_{n}(x,y)>0$.
\end{itemize}

\item[(3)]Geben Sie ein Beispiel eines zusammmenhängenden Graphen, so dass für
alle $n\in\N$  Vertizes $x,y\in X$ existieren mit
\begin{align*}
    p_{n}(x,y)=0.
\end{align*}
\newpage

\item[(4)] Sei $b:X\times X\to\{0,1\}$ und $c=0$.
\begin{itemize}
  \item [(a)] Zeigen Sie, dass für den größten Eigenwert $\mu_{0}$ von $P$ gilt
$\mu_{0}=1$.

  \item [(b)] Sei weiterhin $E=\{(x,y)\in X\mid b(x,y)=1\}$ die Menge der
gerichteten Kanten und $D=\sup_{x,y\in X}d(x,y)$ der Durchmesser
bzgl. der kombinatorischen Graphenmetrik, d.h.  $d(x,y)=\min\{n\mid
\mbox{es gibt } x=x_{0}\sim\ldots\sim x_{n}=y\}$. Dann gilt für den
zweitgrößten Eigenwert $\mu_{1}$
\begin{align*}
    1-\mu_{1}\ge\frac{1}{D\#E}
\end{align*}

\end{itemize}



\end{itemize}
\textbf{Zusatzaufgaben}
\begin{itemize}
  \item [(Z1)] Zeigen Sie, dass $P$ aus Aufgabe (1) sogar
  kontrahierend auf $\ell^{p}(X,\deg)$, $1\le   p\leq\infty$, ist.

    \item [(Z2)] Geben Sie eine Charakterisierung aller Graphen mit
    der Eigenschaft aus Aufgabe (3) an.

 \end{itemize}


\end{document}
