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\newcommand{\D}{\displaystyle}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\IR}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\IN}{{\mathbb{N}}}
\newcommand{\IZ}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\IF}{{\mathbb{F}}}
\newcommand{\IK}{{\mathbb{K}}}
\newcommand{\IQ}{{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\IC}{{\mathbb{C}}}
\newcommand{\IP}{{\mathbb{P}}}
\newcommand{\IE}{{\mathbb{E}}}

\newcommand{\ep}{{\varepsilon}}
\newcommand{\ph}{{\varphi}}
\newcommand{\thet}{{\vartheta}}
\newcommand{\rh}{{\varrho}}
\newcommand{\de}{{\delta}}
\newcommand{\la}{{(}}
\newcommand{\ra}{{)}}
\newcommand{\Om}{{\Omega}}
\newcommand{\al}{{\alpha}}
\newcommand{\be}{{\beta}}
\newcommand{\ga}{{\gamma}}
\newcommand{\gwh}{{\widehat{\gamma}}}
\newcommand{\om}{{\omega}}
\newcommand{\La}{{\Lambda}}
\newcommand{\Ga}{{\Gamma}}
\newcommand{\De}{{\Delta}}
\newcommand{\wh}{{\widehat}}

\newcommand{\foh}{{\mathfrak{h}}}

\newcommand{\nach}{{\rightarrow}}
\newcommand{\Nach}{{\,\rightarrow\,}}
\newcommand{\Fou}{{\mathcal{F}}}
\newcommand{\sk}{{\,|\,}}

\def\be{\begin{eqnarray*}}
\def\ee{\end{eqnarray*}}
\def\bel{\begin{eqnarray}}
\def\eel{\end{eqnarray}}

\def\ex{\exists}
\def\all{\forall}

\def\a{\alpha}
\def\eh{\frac{1}{2}}
\def\A{\mathcal{A}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\N{\mathbb{N}}\def\NN{\mathbb{N}}
\def\E{\mathbb{E}}
\def\P{\mathbb{P}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def\B{\mathcal{B}}
\def\F{\mathcal{F}}
\def\S{\mathcal{S}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\O{\mathcal{O}}
\def\e{\epsilon}
\def\ep{\tilde{\delta}}
\def\d{\delta}
\def\lm{\lambda}
\def\id{\mathbb{I}}
\def\Sp{\textrm{Sp}}
\def\lili{\lim\limits}
\def\nn{\nonumber}
\def\fa{\bigwedge\limits}
\def\one{1}
\def\chiop{\chi_{\{\delta>L\}}}
\def\eqiv{\Longleftrightarrow}
\def\lra{\longrightarrow}
\newcommand{\ab}[1]{\left( #1\right)}


%\newcommand{\cosh}{\mbox{cosh}}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{remarks}[theorem]{Remarks}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\begin{document}

\rule{\textwidth}{0.3pt}
\begin{center}
\textbf{\large Analysis auf Graphen}
\end{center}
\textbf{Wintersemester 2015/2016\hfill Prof. Dr. M. Keller}

\rule{\textwidth}{0.3pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Hier geht's los
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Blatt 8}\hfill % Nr des Blatts
\textbf{Abgabe 15.12.2015}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{itemize}








\item[(1)] Sei $(b,c)$
 ein zusammenhängender Graph über $(X,m)$ und $L=L_{b,c,m}$ der dazugehörige Operator.
 Seien $\al\ge0$ und $u$, so dass $(L+\alpha)u\geq0$ auf $W\subseteq X$.
 Falls $\al+c\neq0$ und $u\ge0$ auf $X\setminus W$, dann gilt $u\ge0$ auf $W$.


\item[(2)] Sei $b$ der \emph{Sterngraph} mit Standardgewichten über $(X,m)$,
(d.h. $b:X\times X\to\{0,1\}$ und $m\equiv1$), wobei
$X=\{0,\ldots,N\}$
\begin{align*}
b(0,n)=b(n,0)=1\quad\mbox{und}\quad b(m,n)=0,\quad m,n\in
\{1,\ldots,N\}.
\end{align*}
Machen Sie eine Zeichnung für Ihre Lieblingszahl $N\ge3$ und
bestimmen Sie die Eigenwerte und eine Basis aus Eigenfunktionen  für
$L=L_{b,0,m}$.


\item[(3)] Sei $b$ der \emph{Liniengraph} mit Standardgewichten über $(X,m)$,
(d.h. $b:X\times X\to\{0,1\}$ und $m\equiv1$), wobei
$X=\{1,\ldots,N\}$
\begin{align*}
b(n,m)=b(m,n)=1\quad\mbox{falls $|m-n|=1$}\quad\mbox{und}\quad
b(m,n)=0\quad \mbox{sonst}.
\end{align*}
Machen Sie eine Zeichnung für Ihre Lieblingszahl $N\ge4$ und
bestimmen Sie die Eigenwerte für $L=L_{b,0,m}$.

\item[(4)]Sei $b$ der \emph{zyklische Graph}  mit Standardgewichten über $(X,m)$,
(d.h. $b:X\times X\to\{0,1\}$ und $m\equiv1$)  wobei $X=\Z_{N}$ und
\begin{align*}
b(n,m)=b(m,n)=1\quad\mbox{falls $(m-n)\mathrm{mod}\
N=1$}\quad\mbox{und}\quad b(m,n)=0\quad \mbox{sonst}.
\end{align*}
Machen Sie eine Zeichnung für Ihre Lieblingszahl $N\ge4$ und
bestimmen Sie die Eigenwerte für $L=L_{b,0,m}$.

 \end{itemize}






\end{document}
