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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\begin{document}

\rule{\textwidth}{0.3pt}
\begin{center}
\textbf{\large Analysis auf Graphen}
\end{center}
\textbf{Wintersemester 2015/2016\hfill Prof. Dr. M. Keller}

\rule{\textwidth}{0.3pt}

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%
% Hier geht's los
%
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\textbf{Blatt 7}\hfill % Nr des Blatts
\textbf{Abgabe 08.12.2015}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{itemize}








\item[(1)]
Sei $L$ ein selbstadjungierter Operator auf $\ell^{2}(X,m)$ für
einen endlichen Maßraum $(X,m)$ mit positivitätserhaltender
Halbruppe $T_{t}=e^{-tL}$. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender
Aussagen:
\begin{itemize}
  \item [(i)]
Die Halbgruppe $T_t$, $t\ge0$,  ist positivitätsverbessernd, d.h.
$T_{t}f(x)>0$, $x\in X$, falls $f\ge0$ und $f\neq 0$.
  \item  [(ii)] Die Halbruppe $T_t$, $t\ge0$,  ist ergodisch, d.h.
falls ein Unterraum $V$ von $\ell^{2}(X,m)$ invariant unter $T_{t}$,
$t\ge0$, und Multiplikation mit beliebigen Funktionen auf $X$ ist
(d.h. $T_{t}V\subseteq V$, $t\ge0$, und $\ph V\subseteq V$ für alle
$\ph\in \ell^{2}(X,m)$), dann folgt $V=\{0\}$ oder
$V=\ell^{2}(X,m)$.
\end{itemize}



\item[(2)] Sei $b$ der vollständige Graph mit Standardgewichten über $(X,m)$ mit $X=\{1,\ldots,n\}$ und  $m\equiv1$.
Lösen Sie explizit die Wärmeleitungsgleichung mit
Anfangsbedingung $u_0=1_{\{n\}}$.

\item[(3)] Sei $(b,c)$ ein Graph über einem endlichen $(X,m)$ und betrachte den
Hilbertraum $\ell^{2}_{\C}(X,m)$ der komplexwertigen Funktionen und
$L=L_{b,c,m}$ der Laplaceoperator, der auf $\ell^{2}_{\C}(X,m)$ als
$Lf=L\Re f+i L\Im f$, $f\in \ell^{2}_{\C}(X,m)$ operiert. Zeigen Sie
mittels des Spektralsatzes aus der Vorlesung, dass
$$u=e^{-itL}u_{0} \quad \mbox{mit }e^{-itL}:=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(-itL)^{k}$$
die Schrödingergleichung
\begin{align*}
    \partial_{t}u_{t}=-iLu_{t}
\end{align*}
zur Anfangsbedingung $u_0$ löst. Zeigen Sie weiterhin, dass
\begin{align*}
    P_{t}:=\sum_{x\in X}|u_{t}(x)|^{2}m(x)
\end{align*}
konstant in $t$ ist.

\item[(4)] Sei $b$ ein Graph über einem endlichen $(X,m)$, sei $(\mathbb{X}_{t})$ der Prozess zu $b$ und sei $L=L_{b,m}$
der Laplaceoperator auf $\ell^{2}_{\C}(X,m)$ und
\begin{align*}
    N(t)=\sup\{n\in\N_0\mid t\leq J_{n}\}
\end{align*}
die Zufallsvariable der Anzahl der Sprünge bis zum Zeitpunkt $t$.
Skizzieren Sie den Beweis, dass
\begin{align*}
    u_t(x)=\mathbb{E}_{x}(i^{N(t)}f(\mathbb{X}_{t})),\quad
    t\ge0,x\in X,
\end{align*}
die Schrödingergleichung $\partial_{t}u_{t}=-iLu_{t}$ löst. (Sie
dürfen selbstverständlich alle Abschätzungen aus der Vorlesung über
den Beweis der Feynman-Kac Formel verwenden).
 \end{itemize}

\end{document}
