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\newcommand{\D}{\displaystyle}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\IR}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\IN}{{\mathbb{N}}}
\newcommand{\IZ}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\IF}{{\mathbb{F}}}
\newcommand{\IK}{{\mathbb{K}}}
\newcommand{\IQ}{{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\IC}{{\mathbb{C}}}
\newcommand{\IP}{{\mathbb{P}}}
\newcommand{\IE}{{\mathbb{E}}}

\newcommand{\ep}{{\varepsilon}}
\newcommand{\ph}{{\varphi}}
\newcommand{\thet}{{\vartheta}}
\newcommand{\rh}{{\varrho}}
\newcommand{\de}{{\delta}}
\newcommand{\la}{{(}}
\newcommand{\ra}{{)}}
\newcommand{\Om}{{\Omega}}
\newcommand{\al}{{\alpha}}
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\newcommand{\ga}{{\gamma}}
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\newcommand{\Ga}{{\Gamma}}
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\newcommand{\wh}{{\widehat}}

\newcommand{\foh}{{\mathfrak{h}}}

\newcommand{\nach}{{\rightarrow}}
\newcommand{\Nach}{{\,\rightarrow\,}}
\newcommand{\Fou}{{\mathcal{F}}}
\newcommand{\sk}{{\,|\,}}

\def\be{\begin{eqnarray*}}
\def\ee{\end{eqnarray*}}
\def\bel{\begin{eqnarray}}
\def\eel{\end{eqnarray}}

\def\ex{\exists}
\def\all{\forall}

\def\a{\alpha}
\def\eh{\frac{1}{2}}
\def\A{\mathcal{A}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\N{\mathbb{N}}\def\NN{\mathbb{N}}
\def\E{\mathbb{E}}
\def\P{\mathbb{P}}
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\def\S{\mathcal{S}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\O{\mathcal{O}}
\def\e{\epsilon}
\def\ep{\tilde{\delta}}
\def\d{\delta}
\def\lm{\lambda}
\def\id{\mathbb{I}}
\def\Sp{\textrm{Sp}}
\def\lili{\lim\limits}
\def\nn{\nonumber}
\def\fa{\bigwedge\limits}
\def\one{1}
\def\chiop{\chi_{\{\delta>L\}}}
\def\eqiv{\Longleftrightarrow}
\def\lra{\longrightarrow}
\newcommand{\ab}[1]{\left( #1\right)}


%\newcommand{\cosh}{\mbox{cosh}}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{remarks}[theorem]{Remarks}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\begin{document}

\rule{\textwidth}{0.3pt}
\begin{center}
\textbf{\large Analysis auf Graphen}
\end{center}
\textbf{Wintersemester 2015/2016\hfill Prof. Dr. M. Keller}

\rule{\textwidth}{0.3pt}

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%
% Hier geht's los
%
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\textbf{Blatt 2}\hfill % Nr des Blatts
\textbf{Abgabe 27.10.2015}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{itemize}

\item[(1)]  Sei $\Z_{n}$ die zyklische Gruppe mit $n\in\N$
Elementen, d.h. die Zahlen $\{0,\ldots,n-1\}$ mit Addition modulo $n$. Sei $k\in\N$ und
\begin{align*}
    X=\Z_{n}^{k}=\underbrace{\Z_{n}\times\ldots \times \Z_{n}}_{k\mbox{ mal}}
\end{align*}
Sei $(b,c)=(b_{n,k},c_{n,k})$ der $k$\emph{-dimensionale zyklische
Graph} über $X$ mit Standargewichten, d.h. $c\equiv0$,  $b(x,y)=1$
falls $|x-y|=1,$ (wobei
$|x-y|:=\sum_{j=1}^{k}(|x_{j}-y_{j}|\wedge(n-|x_{j}-y_{j}|)$) und
$b(x,y)=0$, sonst. Wählen Sie zwei Ihrer Lieblingszahlen $n\in N$,
$n\ge 2$. Geben Sie für diese Zahlen $n$ und $k=1,2$, die Matrix
$l_{b_{n,k},c_{n,k}}$, die Wirkung des Laplaceoperators
$L_{b_{n,k},c_{n,k}}$ an  und skizzieren Sie jeweils den Graph.


\item[(2)] Sei $V$ ein reeller Vektorraum und $Q,Q'$ zwei symmetrische bilineare Formen auf $V$. Zeigen Sie, dass falls
    \begin{align*}
        Q(f,f)=Q'(f,f),\quad f\in V,
    \end{align*}
    gilt, dann folgt
    \begin{align*}
        Q(f,g)=Q'(f,g),\quad f,g\in V.
    \end{align*}
\item[(3)]  Zeigen Sie, dass folgende Abbildungen von $\R$ nach $\R$ normale Kontraktionen sind
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $a \mapsto a \vee 0$.
\item[$\bullet$] $a \mapsto (-a) \vee 0$.
\item[$\bullet$] $a\mapsto a \wedge 1$.
\item[$\bullet$] $C_{[0,1]}: a \mapsto 0 \vee ( a \wedge 1) $. \\
\end{itemize}

\item[(4)] Sei $Q$ eine bilineare Form auf $C(X)$ für eine endliche Menge $X$.
Zeigen Sie, dass falls $$Q(f\wedge 1)\leq Q(f),\quad f\in C(X)$$
gilt, dann auch für alle normalen Kontraktionen $C$ folgt
\begin{align*}
Q(Cf)\leq Q(f),\quad f\in C(X).
\end{align*}
 \end{itemize}

\end{document}
