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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\begin{document}

\rule{\textwidth}{0.3pt}
\begin{center}
\textbf{\large Analysis auf Graphen}
\end{center}
\textbf{Wintersemester 2015/2016\hfill Prof. Dr. M. Keller}

\rule{\textwidth}{0.3pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Hier geht's los
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Blatt 11}\hfill % Nr des Blatts
\textbf{Abgabe 27.01.2016}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%







Sei $(b,c)$ ein Graph über $(X,\deg)$ mit
\begin{align*}
    \deg(x)=\sum_{y\in X}b(x,y)+c(x).
\end{align*}
Sei $P:\ell^{2}(X,\deg)\to\ell^{2}(X,\deg)$ ein Operator mit Matrix
$p:X\times X\to [0,\infty)$ gegeben durch
\begin{align*}
    p(x,y)=\frac{b(x,y)}{\deg(x)}
\end{align*}
d.h.
$$Pf(x)=\sum_{y\in X}p(x,y)f(y).$$
Sei weiterhin $p_{n}:X\times X\to[0,\infty)$ die Matrix der $n$-ten
Potenz $P^{n}=P\circ\ldots\circ P$ des Operators $P$.

Sei $\mu_{0}$ der größte Eigenwert von $P$.

\begin{itemize}


\item[(1)] Zeigen Sie dass der der
Eigenraum von $\mu_{0}$ genau dann von einer strikt positiven
Eigenfunktion $\ph_{0}$ aufgespannt wird falls der Graph
zusammenhängend ist.


\item[(2)]Zeigen Sie, dass für $\mu\in\R$ genau dann ein
strikt positives $u$ mit $(P-\mu)u\le0$ existiert falls
$\mu\ge\mu_{0}$.


\item[(3)]
Ein Graph $b$ über $X$ heißt bipartit falls $X_{1},X_{2}\subseteq X$
existieren mit $X_{1}\cap X_{2}=\emptyset$ und $X_{1}\cup X_{2}=X$,
so dass $b(X_{j}\times X_{j})=\sum_{x,y\in X_{j}}b(x,y)=0$, $j=1,2$.
Sei $c=0$. Zeigen Sie folgende Äquivalenz:
\begin{itemize}
  \item [(i)] $b$ ist bipartit.
  \item [(ii)] $-\mu_{0}$ ist ein Eigenwert von $P$.
\end{itemize}


\item[(4)]
Sei $b$ ein zusammenhängender und nicht bipartiter Graph. Sei
weiterhin $\ph$ eine strikt positive Eigenfunktion zu $\mu_{0}$.
Zeigen Sie, dass
\begin{align*}
    \lim_{n\to\infty }\mu_{0}^{-n}p_{n}(x,y)=\ph(x)\ph(y).
\end{align*}



\end{itemize}
\textbf{Zusatzaufgabe}
\begin{itemize}
  \item [(Z1)]
Sei $Q$ ein linearer Operator auf $C(X)$ mit Matrix $q:X\times
X\to[0,1]$ mit $\sum_{y\in  X}q(x,y)=\sum_{y\in  X}q(y,x)=1$  für
alle $x\in X$. Zeigen, Sie ein Graph $b$ über $(X,\deg)$ existiert
mit $P=Q$.

  \item [(Z2)] Was geschieht iin der Situation von Aufgabe (4) für
  einen bipartiten Graphen?
 \end{itemize}


\end{document}
