Forschungsseminar

Das Forschungsseminar "Topics in Geometric Analysis" wird gemeinsam mit Ahmad Afuni (FU Berlin) organisiert.

Projekte

DFG ME3816/1-2: Willmore surfaces in Riemannian manifolds

Gemeinsam mit Prof. Dr. Tobias Lamm (KIT, Karsruhe)

Dauer: September 2014 -

Geometrische Variationsprobleme treten in natürlicher Weise in mehreren Teilgebieten der Mathematik, Physik, Biologie und Informatik auf. Die bekanntesten Beispiele sind das isoperimetrische Problem und die Minimalflächen. In diesem Projekt betrachten wir Variationsprobleme höherer Ordnung, wie zum Beispiel das Willmore-Funktional und Varianten davon. Diese spezielle Funktional tritt unter anderem in der Allgemeinen Relativitätstheorie, der Biologie und der Bildwiederherstellung auf.

In den letzten Jahren wurde das Willmore-Funktional und seine Varianten im euklidischen Raum intensiv untersucht. Unser Ziel ist die Entwicklung und Ausweitung der existierenden Theorie auf beliebige Zielmannigfaltigkeiten da dies in den oben erwähnten Anwendungen von Bedeutung ist.

Genauer wollen wir die Effekte der umgebenden Krümmung auf die geometrischen bzw. analytischen Eigenschaften der Funktionale untersuchen.

Unsere Hauptmotivation kommt von den Anwendungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie und wir versuchen die Verbindungen zwischen dem Willmore-Funktional und den relevanten physikalischen Grössen in dieser Theorie besser zu verstehen.

Um unsere Ziele zu erreichen, müssen wir die existierenden Regularitäts-, Kompaktheits- und Existenzresultate auf die zu betrachtenden Funktionale ausweiten und dies verlangt das genaue Studium der zugrunde liegenden kritischen partiellen Differentialgleichungen.

Ausgelaufene Projekte

DFG  ME3816/1-1: Geometry of Willmore surfaces in Riemannian manifolds and applications to General relativity

Dauer: Oktober 2011 - August 2013

Geometrische Variationsprobleme und die zugehörigen partiellen Differentialgleichungen sind natürliche Hilfsmittel, um die Geometrie Riemannscher Mannigfaltigkeiten zu untersuchen, und um physikalische Größen in der Allgemeinen Relativitätstheorie zu  definieren. In diesem Projekt betrachten wir verschiedene
Verallgemeinerungen des Willmorefunktionals in Riemannschen Mannigfaltigkeiten, die durch die Hawkingmasse aus der Allgemeinen Relativitätstheorie motiviert sind. Wir untersuchen Flächen, die
diese Funktionale unter geeigneten Nebenbedingungen minimieren, oder die zugehörigen partiellen Differentialgleichungen erfüllen. Unser Hauptaugenmerk liegt auf dem Zusammenspiel der Geometrie dieser
Flächen und der Geometrie der umgebenden Mannigfaltigkeit. Diese Zusammenhänge besitzen oft physikalische Interpretationen, wenn man die umgebende Mannigfaltigkeit als Anfangsdaten für die Allgemeine Relativitätstheorie betrachtet. So können etwa Flächen, die den kleinsten Flächeninhalt unter allen Flächen haben, die dasselbe Volumen einschließen, dazu benutzt werden, das Massenzentrum eines isolierten gravitierenden Systems zu definieren.
 
Dieser Art sind die Effekte, die wir für das Willmorefunktional betrachten. Vorarbeiten des Antragstelles zeigen, dass ein enger Zusammenhang zwischen dem Willmorefunktional und der Skalarkrümmung des umgebenden Raumes besteht, wenn man kleine Flächen betrachtet. Im Großen können diese Flächen benutzt werden, um Masse und Massenzentrum eines isolierten gravitierenden Systems zu untersuchen. Außerdem betrachten wir Verallgemeinerungen des Willmorefunktionals, die vermutlich sensitiv gegenüber dem Gesamtimpuls eines solchen Systems sind.

Publikationen

Wichtigste Publikationen

  • M. Eichmair and J. Metzger
    Jenkins-Serrin-Spruck type results for the Jang's equation
    Preprint. May 2012.
    arXiv:1205.4301 [math.DG].
  • M. Eichmair and J. Metzger
    Unique isoperimetric foliations of asymptotically flat manifolds in all dimensions
    Inventiones mathematicae 194 (2013), 591--630.
    arXiv:1204.6065 [math.DG].
  • M. Eichmair and J. Metzger
    Large isoperimetric surfaces in asymptotically flat manifolds
    J. Differential Geom. 94 (2013), 159--186.
    arXiv:1102.2999 [math.DG].
  • M. Eichmair and J. Metzger
    On large volume preserving stable constant mean curvature surfaces in initial data sets
    J. Differential Geom. 91 (2012) 81-102.
    arXiv:1102.3001 [math.DG].
  • T. Lamm, J. Metzger and F. Schulze
    Foliations of asymptotically flat manifolds by surfaces of Willmore type
    Mathematische Annalen 350 (2011) 1-78.
    arXiv:0903.1277 [math.DG].

 

2017 | Isoperimetric structure of asymptotically conical manifolds | Otis Chodosh, Michael Eichmair, and Alexander Volkmann
Zeitschrift: J. Differential Geom. Seiten: 1-19 Band: 105 Link zur Publikation

2016 | Jenkins-Serrin-type results for the Jang equation | Michael Eichmair and Jan Metzger
Zeitschrift: J. Differential Geom. Seiten: 207–242 Band: 102 Link zum Preprint

2015 | The merger of small and large black holes | P. Mösta; L. Andersson; J. Metzger; B. Szilágyi; J. Winicour
Zeitschrift: Classical Quantum Gravity Seiten: 235003, 20 pp. Band: 32

2015 | Null mean curvature flow and outermost MOTS | Theodora Bourni, Kristen Moore
Link zum Preprint

2014 | On the evolution of hypersurfaces by their inverse null mean curvature | Kristen Moore
Zeitschrift: J. Differential Geom. Seiten: 425-466 Band: 98 Link zur Publikation

2013 | Willmore flow of surfaces in Riemannian spaces I: Concentration-compactness | J. Metzger, G. Wheeler, and V.-M. Wheeler
Link zum Preprint

2013 | Unique isoperimetric foliations of asymptotically flat manifolds in all dimensions | Michael Eichmair and Jan Metzger
Zeitschrift: Invent. Math. Seiten: 591-630 Band: 194 Link zur Publikation

2013 | Large isoperimetric surfaces in asymptotically flat manifolds | Michael Eichmair and Jan Metzger
Zeitschrift: J. Differential Geom. Seiten: 159-186 Band: 94 Link zur Publikation

2013 | Minimizers of the Willmore functional with a small area constraint | Tobias Lamm and Jan Metzger
Zeitschrift: Annales de l’Institut Henri Poincaré / Analyse non linéaire Seiten: 497-518 Band: 30 Link zur Publikation

2012 | On large volume preserving stable constant mean curvature surfaces in initial data sets | Michael Eichmair and Jan Metzger
Zeitschrift: J. Differential Geom. Seiten: 81-102 Band: 91 Link zur Publikation

2011 | Foliations of asymptotically flat manifolds by surfaces of Willmore type | Tobias Lamm, Jan Metzger and Felix Schulze
Zeitschrift: Math. Ann. Seiten: 1-78 Band: 350 Link zur Publikation

2011 | On type-I singularities in Ricci flow | Jörg Enders, Reto Müller, Peter Topping
Zeitschrift: Comm. Anal. Geom. Seiten: 905-922 Band: 19 Link zur Publikation

2010 | Surfaces with maximal constant mean curvature | Jan Metzger
Zeitschrift: Comm. Anal. Geom. Seiten: 627-647 Band: 18 Link zur Publikation

2010 | Small surfaces of Willmore type in Riemannian manifolds | Tobias Lamm and Jan Metzger
Zeitschrift: Intl. Math. Res. Notices Seiten: 3786-3813 Band: 2010 Link zur Publikation

2010 | Blowup of Jang’s equation at outermost marginally trapped surfaces | Jan Metzger
Zeitschrift: Comm. Math. Phys. Seiten: 61-72 Band: 294 Link zur Publikation

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