18.04.2024, 16:15
– Raum 1.10
Forschungsseminar Differentialgeometrie
Spinstrukturen und Dirac-Operator
Christian Bär (UP)
Die Dozenten des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam bieten eine Reihe von Vorträgen an, die sich an Schulklassen im Raum Brandenburg/Berlin richten. Unten finden Sie eine Liste von Themen, zu denen ständig Vorträge angeboten werden. Bei Interesse kommen die jeweiligen Vortragenden an Ihre Schule um vorzutragen. Kosten entstehen dadurch nicht. Natürlich begrüßen wir Schulklassen auch gerne an der Universität Potsdam.
Bei Interesse wenden Sie sich bitte an Prof. Dr. Jan Metzger.
Beim Transport in Netzwerken geht es um die Frage, wie man eine maximale Menge von Objekten vom Punkt A zum Punkt B bringt. Diese maximale Menge ist ein maximaler Fluss, auf
Denglisch max flow. Ein wesentlicher Struktursatz der Graphentheorie besagt: Ein maximaler Fluss ist ein minimaler Schnitt: max flow = min cut. Bei dieser Veranstaltung geht es darum, diese Begriffe zu erläutern und zu präzisieren.
Jeder hat schon ein modernes Mobiltelefon oder ein Smartphone in der Hand gehalten. Darin finden sich ein Vielzahl praktisch umgesetzter mathematischer Konzepte und Algorithmen. Diese werden täglich millionenfach verwendet, oft ohne in Erscheinung zu treten. Beispiele dafür sind: Fehlerkorrigierende Codes, um die Datenübertragung abzusichern, Algorithmen zur Kompression von Audiosignalen, Verschlüsselungsverfahren oder Routenplanung. In einem Vortrag soll die Mathematik hinter einem oder mehreren dieser Beispiele erklärt werden.
Wenn man versucht, einen komplizierten Knoten zu entwirren und dabei scheitert, kann das zwei Gründe haben: entweder geht es tatsächlich nicht oder man stellt sich nur zu dumm an. Wie kann man das entscheiden? Wir werden sehen, wie man mit Knoten rechnen kann. Damit kann man in vielen Fällen ausrechnen, ob der Knoten aufgelöst werden kann.
Seit Albert Einstein wissen wir, dass man keine Reisen mit Überlichtgeschwindigkeit durchführen kann. Die meisten kosmischen Reiseziele sind viele (Tausende) Lichtjahre entfernt, so dass wir sie niemals in unserer Lebenszeit erreichen können, so die allgemeine Überzeugung. In der Science-Fiction umgeht man dieses Problem, indem man fragwürdige Konzepte wie z.B. den „Warp-Antrieb“ einführt. Das ist gar nicht notwendig, denn wir werden sehen, dass die vermeintliche Unerreichbarkeit auf einem Denkfehler beruht.
Wie man die (unendlich vielen) natürlichen Zahlen 1,2,3,.... aufzählen kann, ist eine Fragestellung, die implizit schon von Euler im 18. Jahrhundert gestellt wurde. Eine natürliche Verallgemeinerung ist die Frage nach der Anzahl der (a priori unendlich vielen) ganzzahligen Punkte in einem Kegel. Ähnliche Fragestellungen findet man in der Teilchenphysik, wo man Unendlichkeiten einen endlichen Wert auch zuordnen will um überhaupt Messungen machen zu können.
Der Flug von Vögeln wird beobachtet und analysiert. Ornithologen können erklären, warum die Flugwege die Form eines zufälligen Zickzack (so genannte Irrfahrten) haben. Diese Irrfahrten wiederum lassen sich mathematisch analysieren: es sind spannende Modelle, die in der Physik, in der Ökonomie und in der Finanzmathematik eine große Rolle spielen. Ob ein Vogel stets zu seinem Nest zurück findet, und einige geometrische Eigenschaften seines Weges werden wir anhand von Beispielen und Simulationen in dem Vortrag erläutern.
Es wird erklärt, welche Mathematik sich hinter Schwingungsvorgängen verbirgt. Wir werden sehen, dass man die Länge einer schwingenden Saite aus ihrem Klang bestimmen kann. Ob auch die Form einer schwingenden Membran (z.B. eines Trommelfells) durch ihren Klang festgelegt ist oder ob es zwei verschieden geformte Membranen mit genau demselben Klang gibt, war lange Zeit unbekannt. Die Lösung dieser Frage hat viel mit Geometrie, z.B. dem isoperimetrischen Problem zu tun. Zum Schluss hören wir noch Musik, die auf "6-dimensionalen Saiten" gespielt wurde.
Neben den Treibhausgasen beeinflussen auch luftgetragene Partikel unser Klima, die mittels optischer Laserradare vermessen werden. Die nahezu detektivische Aufgabe für die Mathematik besteht darin, die unterschiedlichen Partikel anhand ihrer "Fußspuren" auf dem Radardetektor zu identifizieren. Dazu benötigt man speziell entwickelte mathematische Regularisierungstechniken, die solche inversen Probleme lösen können. Anhand einfacher Beispiele werden diese Probleme und die Lösungsverfahren erklärt.
Wir werden uns in diesem Kurs diverse Populationsdynamiken anschauen und versuchen mittels Differentialgleichungen zu modellieren. Unser Hauptziel wird es sein parasitenkontrolliertes bzw. kapazitätsbeschränktes Wachstum zu modellieren und die Differentialgleichung dahinter zu verstehen. Je nach Zeit und Wunsch, können sich die Teilnehmer selbst an Übungen zum Thema ausprobieren und/oder auch das Räuber-Beute-Modell kennenlernen.